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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 计算模拟 » 关于delta函数的高斯积分问题
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)

[交流] 关于delta函数的高斯积分问题

如图，A是归一化系数，P是概率密度分布函数，现在如果我想求xn的概率分布密度函数，我的解法是对其他维的变量进行负无穷到正无穷的积分，delta函数用其的傅里叶变换代入式子积分，这样就可以得到xn的概率密度分布函数，然后我用经典的box-muller方法来做gauss分布，得到了各个维数的x值，这样得到的x数值我认为应该没有问题，但是这时候我将各个维数的x值如delta函数内的式子加起来却发现结果不等于0(我做的大概是10-4左右)，向大神们请教。
(a>0,数量级大概在10-5左右，b>0,数量级在10-6左右， 我取了50000个x值，我用的是fortran90)

1.JPG

[ Last edited by chemistryxrw on 2013-3-13 at 22:40 ]
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1楼 2013-03-13 22:15:05
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

leedobb

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
chemistryxrw: 金币+3 2013-03-19 08:53:34
csgt0: 金币+2, 谢谢 2013-03-21 10:51:10
delta函数在数值计算之时用Fourier展开表达误差蛮大的，这点得非常小心的。你可以试试检验一下，有限项的Fourier展开表达的delta函数在x!=0时都会有值，而且是振荡的。

因此建议直接把delta函数解析处理掉。
你的问题其实就是多维的高斯积分，直接可拿到解析的结果，到维基上查一下Gaussian Integral即可
exp(-ax^2+i k b x)的积分很简单的。
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14楼2013-03-18 23:46:46
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普通回帖

sundapeng111

铁杆木虫 (著名写手)
★
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
看迷糊了 帮顶
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2楼2013-03-15 09:56:34
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sundapeng111 at 2013-03-15 09:56:34
看迷糊了 帮顶

呵呵。。谢谢
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3楼2013-03-15 17:32:59
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userhung

禁虫 (文学泰斗)
★
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
δ函数用傅里叶变换代入式子积分没弄错把？
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8楼2013-03-15 18:48:51
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by userhung at 2013-03-15 18:48:51
δ函数用傅里叶变换代入式子积分没弄错把？

应该没弄错，其实我觉得可能就是取分布的问题，毕竟取x值的时候还是得满足这个等式的，那应该怎么取分布？
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9楼2013-03-18 09:20:23
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by readytogo at 2013-03-15 17:47:04

谢谢支持！
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10楼2013-03-18 09:20:48
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by champ at 2013-03-15 18:05:29

谢谢！
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11楼2013-03-18 09:20:55
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)
引用回帖:
14楼: Originally posted by leedobb at 2013-03-18 23:46:46
delta函数在数值计算之时用Fourier展开表达误差蛮大的，这点得非常小心的。你可以试试检验一下，有限项的Fourier展开表达的delta函数在x!=0时都会有值，而且是振荡的。

因此建议直接把delta函数解析处理掉。
你 ...

那delta函数怎么解析掉？不太明白你的意思，呵呵。。如果要化成exp(-ax^2+i k b x)的形式不也是先傅里叶变换积分后数值计算吗？不太明白望指教~
能不能讲详细一些，十分感谢
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16楼2013-03-19 08:53:12
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
16楼: Originally posted by chemistryxrw at 2013-03-19 08:53:12
那delta函数怎么解析掉？不太明白你的意思，呵呵。。如果要化成exp(-ax^2+i k b x)的形式不也是先傅里叶变换积分后数值计算吗？不太明白望指教~
能不能讲详细一些，十分感谢...

这个积分对x积，直接就积出来了
结果是
sqrt(pi/a) exp ( -k^2 b^2/4/a)
对每个x都做一次，最后再对k做，
也是高斯积分。

多查查数学用表好了。
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17楼2013-03-19 12:12:58
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leedobb

金虫 (正式写手)
引用回帖:
17楼: Originally posted by leedobb at 2013-03-19 12:12:58
这个积分对x积，直接就积出来了
结果是
sqrt(pi/a) exp ( -k^2 b^2/4/a)
对每个x都做一次，最后再对k做，
也是高斯积分。

多查查数学用表好了。...

最后对每个x除去xn做积分后有：
P(x_n) = \int [(pi/a_1)*(pi/a_2) ...(pi/a_N)]^(1/2) * exp ( - k^2/4 *Sum (b_i^2/a_i) )*
exp(-a_n x_n^2 +i k b_n x_n) dk
此时其实是k的高斯积分。
结果为
P(x_n) =  [(pi/a_1)*(pi/a_2) ...(pi/a_N)]^(1/2) （4 pi/Sum (b_i^2/a_i) )^(1/2) * exp[- b_n^2 x_n^2/Sum (b_i^2/a_i)]

所以还是个高斯分布
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19楼2013-03-19 12:22:37
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假大空

木虫之王 (文学泰斗)
★
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
??
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24楼2013-03-19 14:21:37
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chemistryxrw

金虫 (小有名气)
引用回帖:
19楼: Originally posted by leedobb at 2013-03-19 12:22:37
最后对每个x除去xn做积分后有：
P(x_n) = \int ^(1/2) * exp ( - k^2/4 *Sum (b_i^2/a_i) )*
exp(-a_n x_n^2 +i k b_n x_n) dk
此时其实是k的高斯积分。
结果为
P(x_n) =  ^(1/2) （4 pi/Sum (b_i^2/a_i) )^( ...

额。。我是想问一下，积分出来以后用box-muller方法来取样得到的x值的加和不满足delta函数括号里面的性质，这个积分我已经积出来了
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25楼2013-03-19 14:24:52
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gcworm

木虫 (职业作家)
路过，帮你顶一下
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32楼2013-03-19 17:08:15
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readytogo4楼
2013-03-15 17:47   回复  
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
champ5楼
2013-03-15 18:05   回复  
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
wgatssd6楼
2013-03-15 18:06   回复  
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
zhihaikou7楼
2013-03-15 18:46   回复  
chemistryxrw(金币+1): 谢谢参与
祝福
chemistryxrw12楼
2013-03-18 09:21   回复  
引用回帖:
6楼: Originally posted by wgatssd at 2013-03-15 18:06:18

chemistryxrw13楼
2013-03-18 09:21   回复  
引用回帖:
7楼: Originally posted by zhihaikou at 2013-03-15 18:46:41 祝福

haixiawu15楼
2013-03-19 03:57   回复  
fangxin18楼
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xxychris20楼
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ldy8536799630楼
2013-03-19 15:13   回复  
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shmilyzxy31楼
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fyz723233楼
2013-03-20 10:50   回复  
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