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xunking

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[求助] 关于一个恒等式的证明问题

在《电磁场与电磁波》(第4版，谢处方等编)中关于静电场的散度和高斯定理的推导中(pp.43页)，利用了如下恒等式
$\nabla^2(\frac{1}{R})=-4\pi \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')$
其中
$R=|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}'|$
其中可以容易证明在 $\boldsymbol{r} \neq \boldsymbol{r}'$ 时有
$\nabla^2(\frac{1}{R})=0$
但是在 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}'$ 时，如何证明该恒等式呢？或在哪里可以找到证明该恒等式的方法？
望指教，不甚感激！

[ Last edited by xunking on 2012-7-4 at 15:36 ]

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1楼 2012-07-04 15:24:57

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yingmuzheng

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【答案】应助回帖

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r=r'时R为零，零不能作分母的，所以无法对1/R求导啊

2楼2012-07-04 19:18:20

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xunking

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2楼: Originally posted by yingmuzheng at 2012-07-04 19:18:20
r=r'时R为零，零不能作分母的，所以无法对1/R求导啊

是啊，这里不是用的delta冲激函数吗！
我也不懂，但是这是教科书上的，而且这个恒等式对公式的推导很重要，所以在这里向大家请教这个等式的证明！

3楼2012-07-04 19:59:06

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4楼2012-07-04 21:48:38

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xunking

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4楼: Originally posted by awl0015 at 2012-07-04 21:48:38
我觉得可以从散度的定义什么的去考虑，r=r'时，左边的微分/积分等于-4*PI 的“无穷大”。

我也试着从定义考虑了的，但貌似还是无法直接处理。
这里的微分和积分应该是也区别的吧，因为恒等式设计对标量的梯度，然后再求散度，都是微分问题。
当然，从原理上来说，由定义肯定可以推到，但是具体如何处理还要向各位同学或老师请教！

5楼2012-07-05 08:28:28

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shenqwin

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是否可以令 r=r\'+d, 推导出相应公式，然后取极限，另d趋向于0进行证明？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

6楼2012-07-06 00:51:38

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xunking

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6楼: Originally posted by shenqwin at 2012-07-06 00:51:38
是否可以令 r=r\'+d, 推导出相应公式，然后取极限，另d趋向于0进行证明？

该点不可导，结果有delta函数，直接由定义不能得到吧，估计还要引入别的概念！
还是非常感谢！

7楼2012-07-06 08:24:40

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