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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 凝聚态物理 » 指数函数无穷积分
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htiejiang

银虫 (正式写手)

[求助] 指数函数无穷积分 已有4人参与

如图所示，这两个无穷积分等于什么。第一个无穷积分有时候等于δk1,k2 有时候等于δ（k1-k2）.这两者有什么联系，请详细说一说。还有第二个积分就不知道等于多少了

指数函数无穷积分
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1楼 2014-05-26 12:59:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
华丽的飘过: 金币+5, 3q 2014-05-29 23:20:00
(1) 构造一个积分I=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*abs(x)]*dx,-∞,∞}, 其中β>0。
I=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[β*x]*dx,-∞,0} +
   +  Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{e^[i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*(-dx),∞,0} +
   + Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{{e^[i*(k1-k2)*x]+e^[-i*(k1-k2)*x]}*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{{e^[i*(k1-k2)*x]+e^[-i*(k1-k2)*x]}*e^[-β*x]*dx,0,∞}
将欧拉公式代入：
I=2*Integral{Cos[(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
  =2*β/[β^2+(k1-k2)^2]
原式=Lim (β-->0+){I}=0

(2)同理:
令J=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*abs(x)]*x*dx,-∞,∞},
其中β>0。
J=-2*i*Integral{Sin[(k1-k2)*x]*x*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=4*i*(k1-k2)*β/{β^2+(k1-k2)^2}^2
原式=Lim (β-->0+){J}=0
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4楼2014-05-28 11:25:09
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leedobb

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
华丽的飘过: 金币+3, 3q 2014-05-29 23:20:19
第一个积分就是delt(k1-k2)。
第二个积分就是 delt(k1-k2)对k1的导数
赞一下(1人) 回复此楼
有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。
2楼2014-05-26 17:07:39
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htiejiang

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by leedobb at 2014-05-26 17:07:39
第一个积分就是delt(k1-k2)。
第二个积分就是 delt(k1-k2)对k1的导数

delta 函数的导数不好求吧，我找了没有相关导数表达式，应该是没有具体表达式。
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3楼2014-05-26 17:15:38
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大风歌_09

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
华丽的飘过: 金币+1, 3q 2014-05-29 23:20:13
第一个积分的结果就是delta function即2πδ(k1-k2)，此函数属于广义函数，不是 某一确定形式的函数。
第二个貌似可以根据delta function的选择性，选择点是0，此积分结果貌似是0.
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5楼2014-05-29 20:09:47
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