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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 凝聚态物理 » 指数函数无穷积分
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htiejiang

银虫 (正式写手)

[求助] 指数函数无穷积分已有4人参与

如图所示，这两个无穷积分等于什么。第一个无穷积分有时候等于δk1,k2 有时候等于δ（k1-k2）.这两者有什么联系，请详细说一说。还有第二个积分就不知道等于多少了

指数函数无穷积分
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1楼2014-05-26 12:59:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
华丽的飘过: 金币+5, 3q 2014-05-29 23:20:00
(1) 构造一个积分I=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*abs(x)]*dx,-∞,∞}, 其中β>0。
I=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[β*x]*dx,-∞,0} +
   +  Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{e^[i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*(-dx),∞,0} +
   + Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{{e^[i*(k1-k2)*x]+e^[-i*(k1-k2)*x]}*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{{e^[i*(k1-k2)*x]+e^[-i*(k1-k2)*x]}*e^[-β*x]*dx,0,∞}
将欧拉公式代入：
I=2*Integral{Cos[(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
  =2*β/[β^2+(k1-k2)^2]
原式=Lim (β-->0+){I}=0

(2)同理:
令J=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*abs(x)]*x*dx,-∞,∞},
其中β>0。
J=-2*i*Integral{Sin[(k1-k2)*x]*x*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=4*i*(k1-k2)*β/{β^2+(k1-k2)^2}^2
原式=Lim (β-->0+){J}=0
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4楼2014-05-28 11:25:09
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