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arang1

银虫 (正式写手)

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[求助] 两个关于矩阵的问题已有2人参与

问题
1)假定:矩阵S的所有特征根的实部分大于等于0
求证:是否存在一个正定矩阵P,满足PS+S^TP为半正定矩阵
ps：S^T表示矩阵S的转置

2)假定A是半正定矩阵，B是正定矩阵
求证:是否存在一个正常数c使得cB-A为正定矩阵

谢谢

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1楼 2014-03-25 18:58:45

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

5楼: Originally posted by hank612 at 2014-03-29 11:38:08
我没有解决问题，只是提供个可能的思路。
2）显然成立，因为对正定矩阵M，由Courant-Fischer-Weyl 不等式，有
Lambda_min (x,x) <= (Mx, x) <= Lambda_max (x,x) 最大最小特征值，所以对任何 C满足 C* ...

令S=(0 1; 0 0), 如果要求P=(a b; b c)正定, 那么ａ不等于０。
这时　PS+S^T*P=(0 a; a 2b), 它作用于向量(x,y)^T上为 (ay, ax+2by).
可是无法满足 2a*x*y+2b*y^2 >=0对所有x,y.

如果可以把Ｐ放大到半正定，　那命题显然成立，　比如Ｐ＝０。

丘老师真的会出这么明显的题么　（我指Ｐ半正定的情形）？