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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 两个关于矩阵的问题
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arang1

银虫 (正式写手)

[求助] 两个关于矩阵的问题 已有2人参与

问题
1)假定:矩阵S的所有特征根的实部分大于等于0
求证:是否存在一个正定矩阵P,满足PS+S^TP为半正定矩阵
  ps：S^T表示矩阵S的转置

2)假定A是半正定矩阵，B是正定矩阵
求证:是否存在一个正常数c使得cB-A为正定矩阵


  
谢谢
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1楼 2014-03-25 18:58:45
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lpxmc2012

铁虫 (小有名气)
丘维声的《高等代数学习指导书》上册有此题，你去看看吧.
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爱因斯坦创立相对论的经典,海森堡写下矩阵力学的蓝天,薛定谔绘出波函数的美丽曲线,谁来完成终极定理的圆满?
2楼2014-03-25 20:38:03
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arang1

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by lpxmc2012 at 2014-03-25 20:38:03
丘维声的《高等代数学习指导书》上册有此题，你去看看吧.

谢谢
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3楼2014-03-26 17:24:06
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汐蓝溪谷

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以说这是纯定义证明么
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不管走什么样的路，都要回头看看这一路的风景
4楼2014-03-27 19:37:27
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
我没有解决问题，只是提供个可能的思路。
2）显然成立， 因为  对正定矩阵M， 由Courant-Fischer-Weyl 不等式，有
Lambda_min (x,x) <= (Mx, x) <= Lambda_max (x,x) 最大最小特征值，所以对任何 C满足 C* Lambda_B_min > Lambda_A_max, 都有
( (cB-A)x,x) >0, 也就是从定义来说，cB-A 是正定的。

1）不会作。 可以考虑一步步化简。
（i）因为 PS+S^T P 半正定等价于 ( (PS+S^T P)x, x) >=0. 即 2(Sx, Px)>=0. 因此， Q=V^T*P*V, W=V^{-1}*S*V 将会满足 QW+W^TQ半正定，所以不妨设S在相似下已经是Jordan标准型了。

(ii) 从矩阵维数归纳的话，不妨设S就有且仅有一个Jordan块。

(iii) 如果 PS+S^TP 半正定，那么 P*(S+epsilon) +(S+epsilon)^T*P正定，对任意epsilon>0. 因此不妨假设 S 特征根实部为零。

即使对这样的矩阵，我也构造不出正定矩阵P满足要求， 还是把球踢给楼主吧。
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-03-29 11:38:08
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2014-03-29 11:38:08
我没有解决问题，只是提供个可能的思路。
2）显然成立， 因为  对正定矩阵M， 由Courant-Fischer-Weyl 不等式，有
Lambda_min (x,x) <= (Mx, x) <= Lambda_max (x,x) 最大最小特征值，所以对任何 C满足 C*  ...

令S=(0 1; 0 0), 如果要求P=(a b; b c)正定, 那么ａ不等于０。
这时　PS+S^T*P=(0 a; a 2b), 它作用于向量(x,y)^T上为 (ay, ax+2by).
可是无法满足 2a*x*y+2b*y^2 >=0对所有x,y.

如果可以把Ｐ放大到半正定，　那命题显然成立，　比如Ｐ＝０。

丘老师真的会出这么明显的题么　（我指Ｐ半正定的情形）？
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We_must_know. We_will_know.
6楼2014-03-29 13:18:30
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