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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 【求助】大家可以给我讲讲两个矩阵之间的变换么？
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relonfbq

金虫 (正式写手)

[交流] 【求助】大家可以给我讲讲两个矩阵之间的变换么？

关于旋转60操作的两个矩阵
第一：
1 -1 0
1 0 0
0 0 1
第二：
0.5 -sqrt(3)/2 0
sqrt(3)/2 0.5 0
0 0 1
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1楼 2010-12-24 14:20:49
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ykwang

金虫 (正式写手)
第一个矩阵(记为[A])
1  -1   0
1   0   0
0   0   1
不是正交阵，当然不是旋转60度的操作。第二个矩阵(记为[B])
0.5           -sqrt(3)/2     0
sqrt(3)/2            0.5     0
0                       0        1
才是绕Z轴旋转60度的旋转矩阵。如果第一个矩阵改为
0  -1   0
1   0   0
0   0   1
即为绕Z轴旋转90度的旋转矩阵，那么两者之间的关系为
[A] = [B][C]
其中[C]为绕Z轴旋转30度的旋转矩阵，即
sqrt(3)/2     -0.5          0
     0.5      sqrt(3)/2     0
     0            0             1
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2楼2010-12-25 11:30:31
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relonfbq

金虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-12-25 11:30:31:
第一个矩阵(记为[A])
1  -1   0
1   0   0
0   0   1
不是正交阵，当然不是旋转60度的操作。第二个矩阵(记为[B])
0.5           -sqrt(3)/2     0
sqrt(3)/2            0.5     0
0                      ...

首先感谢您，不过我继续疑问：
你说第一个矩阵不是绕Z轴旋转60°的矩阵
但是第四个矩阵（记为[D]）
-1  0  0
0 -1  0
0  0  1
很明显是绕z轴旋转180°的矩阵
且发现[D]=[A][A][A]
也就是说通过三次操作A可以获得D操作
那么A应该是绕Z轴旋转60°的矩阵
当然B肯定是绕Z轴旋转60°的矩阵
也就是说A与B应该是相似矩阵

但两者之间如何变换我搞不清楚,
其中A矩阵是晶体学课件中旋转对称操作60°的操作矩阵!
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3楼2010-12-25 17:34:53
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ykwang

金虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by relonfbq at 2010-12-25 17:34:53:

首先感谢您，不过我继续疑问：
你说第一个矩阵不是绕Z轴旋转60°的矩阵
但是第四个矩阵（记为[D]）
-1  0  0
0 -1  0
0  0  1
很明显是绕z轴旋转180°的矩阵
且发现[D]=[A][A][A]
也就是说通过三次操 ...

既然“A矩阵是晶体学中的旋转对称操作”，你就应该指明该矩阵的基矢，因为缺省情况下指的都是正交基矢。正交基矢上的旋转矩阵必为正交阵，而[A]不是正交阵，故不是正交基矢上的旋转矩阵。如果[A]是某种旋转矩阵，则对应的基矢必是非正交的。你不能把一个定义在正交基矢空间内的旋转操作与定义在非正交基矢空间内的旋转混用。

此外，矩阵的分解不是唯一的，你不能仅依据一种分解方式来推断原矩阵的性质。例如，你说[D]矩阵为绕Z轴旋转180度的操作，这意味着基矢必须为正交基矢，而[A]并不是正交基矢上的旋转操作，故由[D]=[A][A][A]不能得出[A]是旋转60度的操作之结论，除非[A]是正交阵。

[ Last edited by ykwang on 2010-12-25 at 19:27 ]
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4楼2010-12-25 19:20:47
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relonfbq

金虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-12-25 19:20:47:



既然“A矩阵是晶体学中的旋转对称操作”，你就应该指明该矩阵的基矢，因为缺省情况下指的都是正交基矢。正交基矢上的旋转矩阵必为正 ...

您的意思矩阵A不是旋转60°（以z轴为旋转轴）的对称操作了，也就是说课件中出现了错误
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5楼2010-12-26 13:46:01
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ykwang

金虫 (正式写手)
relonfbq(金币+20):谢谢！ 2010-12-31 14:09:28
引用回帖:
Originally posted by relonfbq at 2010-12-26 13:46:01:
您的意思矩阵A不是旋转60°（以z轴为旋转轴）的对称操作了，也就是说课件中出现了错误

你这是公然歪曲我的意思呀！我说得很明确，矩阵[A]不是正交基矢上的旋转矩阵。如果你的课件上说它是旋转60°的旋转矩阵，那么基矢必定是非正交的。事实上要产生你所说的矩阵[A]，基矢a和b之间的夹角必须为120度，且基矢c垂直于a和b才行。注意，矩阵作为矢量空间线性变换的一种表示，其形式是与基矢的选取有关的！不同的基矢选取会给出不同的变换矩阵，故不要把不同基矢上定义的矩阵混用。

[ Last edited by ykwang on 2010-12-27 at 08:50 ]
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6楼2010-12-26 14:49:29
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qlixuewen

新虫 (初入文坛)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
请问如果是一个对一个矩阵A绕z轴转动45度，为什么等于BAC，其中B是C的转置矩阵？
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7楼2011-10-26 12:35:08
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