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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式
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hao_jian

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式已有4人参与

直角坐标系X0,Y0,Z0中，有一个向量（a,b,c），坐标系绕此向量左手旋转θ角，此时得到新的直角坐标系X1Y1Z1。（两坐标系原点重合）
请问，在原坐标系中的任意点（x,y,z）,在新坐标系中的坐标为何？请给出解析公式，或者变换矩阵也行。（a,b,c,θ已知）

现有的公式（或者说变换矩阵）都是绕坐标轴旋转。
题目很简单，似乎公式超复杂，我头大了，弄不出来，拜托数学高手！！
先给出正确公式的将得到100金币

[ Last edited by Doctorcbw on 2010-6-17 at 19:05 ]
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1楼2010-06-17 16:50:12
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hao_jian

木虫 (正式写手)
有个思路，
步骤1，把任意旋转分解成依次的3个绕轴旋转；
步骤2，把这3个绕轴旋转的矩阵乘起来；
但本人是化学专业，这两个步骤都无从入手
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2楼2010-06-17 16:57:49
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
Doctorcbw(金币+1):谢谢 2010-06-17 19:06:39
思路不止一种，好比说我现在还有一个思路：

首先选取新坐标系 X2 Y2 Z2 使得  原向量（a,b,c）变成新坐标系的 x 轴。这个基变换记做
P;

其次 在 X2 Y2 Z2 中 绕 X 轴旋转 θ角，这个变换记做 A。

最后用(P逆)还原坐标，于是总的变换可以写成 (P逆)AP。

当然坐标是逆变向量，所以坐标变换公式应该是 (P逆)(A逆)P。

具体变换矩阵等会慢慢给你算
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3楼2010-06-17 17:33:12
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+2):谢谢参与交流 2010-06-17 22:54:46
bluesine:这个。。。能简单给下过程否？呵呵 2010-06-18 08:16:52
hao_jian(金币+50):谢谢啦！分两次给 2010-06-18 10:54:55
hao_jian(金币+50):结果太好了！ 2010-06-18 10:55:49
wuguocheng:授予EPI专家指数一枚 2010-06-18 21:09:13
bluesine(数学EPI+1):补上 2010-06-19 08:51:31
解答如图
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4楼2010-06-17 21:50:55
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nmfsde

木虫 (正式写手)
bluesine:这位大哥。可以简单给出过程吗，我代楼主帮助你转移金币，呵呵 2010-06-18 08:18:31
求100金币
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5楼2010-06-17 21:51:52
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+3):谢谢提供帮助 2010-06-17 22:56:08
hao_jian(金币+20):辛苦了，可惜慢了一步 2010-06-18 10:57:10
bluesine(金币+5):算的很辛苦，奖励一下 2010-06-19 08:52:57
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6楼2010-06-17 22:54:43
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by nmfsde at 2010-06-17 21:50:55:
解答如图

晕菜了，竟然有这么简单的求法？


我那个算法里求 P A (P逆) 的时候计算一大堆，求出来之后还通分，这才发现分子里面原来可以提出公因子 (a^2+b^2) 跟分母消掉，这些计算竟然都是多余的？

从理论上讲，跟 (e1)' 正交的另外两个单位向量 (e2)' (e3)' 可以任意选取，但是结果只有一个，换言之 (e2)' (e3)' 的选取方式与结果无关，这样看来计算 (e2)' (e3)' 确实是多余的，但是我还是不大明白具体多余在什么地方，你能不能把你的思路稍微解释一下呢？

[ Last edited by Pchief on 2010-6-17 at 23:05 ]
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7楼2010-06-17 23:03:37
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
小雨萌萌(金币+2):谢谢解答，鼓励新虫 2010-06-18 08:04:26
这个方法叫做欧拉轴/角参数式，求坐标转换有多种方法：方向余弦、欧拉角(共12种旋转顺序)、欧拉轴角、四元数法等。

对于这个问题，确定了旋转轴和旋转角，应用欧拉轴角有固定的公式，可在相关著作中寻找，例如章仁为的《卫星轨道姿态动力学与控制》北航出版社，1998。在比较深的力学书籍中也可找到。其基本思想是理论力学中的欧拉定理：刚体绕固定点的任意位移，都可由绕通过此一点的某一轴转过一定角度得到。写成数学形式是转轴方向单位矢量等于旋转矩阵和这个单位矢量的乘积。
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8楼2010-06-17 23:22:19
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hao_jian

木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by nmfsde at 2010-06-17 21:51:52:
求100金币

高手老兄谢谢啦，但请耐心点，我数学功底浅，检验正确性慢，通过后100个金币跑不了的，再谢谢了！
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9楼2010-06-18 09:47:02
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hao_jian

木虫 (正式写手)
我看了两个结果，似乎一个是左手旋，一个是右手旋。这个小问题当然不影响公式正确性。不过还得请教两位，哪个是左旋？
注意转的是坐标系，不是任意点(x,y,z)
我还在检验这个结果，再耐心点。

[ Last edited by hao_jian on 2010-6-18 at 10:16 ]
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10楼2010-06-18 10:05:36
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