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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式
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查看: 2006  |  回复: 15
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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javeey(金币+2):谢谢参与交流 2010-06-18 13:01:34
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 10:05:36:
我看了两个结果，似乎一个是左手旋，一个是右手旋。这个小问题当然不影响公式正确性。不过还得请教两位，哪个是左旋？
注意转的是坐标系，不是任意点(x,y,z)
我还在检验这个结果，再耐心点。

[ Last edited ...

你说的左旋右旋，具体指的是什么？

是指旋转θ角时的方向，还是指坐标系的左右手性？

如果是前者，那要看你观察的角度，我那个公式可以保证：如果坐标系是右手系，那么当你右手拇指指向你给的向量(a,b,c)时，其余四指就指示旋转方向。（坐标系是左手系当然就换成左手拇指等等）

如果是后者，我的变换A的行列式是等于正一的，它不会改变坐标系的手性，原来是什么手性变换后还是什么手性。
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11楼2010-06-18 11:39:57
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nmfsde

木虫 (正式写手)
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+3):谢谢参与交流 2010-06-18 23:44:25
请放心使用，我用坐标系旋转和姿态运动的东西用了好几年了，放心，这是针对该问题最简单的解法。
另外从旋转矩阵没有左旋与右旋之分，如果不出现奇异情形（下面解释啥叫奇异），则两个直角坐标系之间的旋转矩阵是唯一的。也就是说方向余弦的表示方法只有一种；欧拉角式有12种（121，131，212，232，313，323，123，132，213，231，312，321共12种旋转顺序）；欧拉轴/角参数式的轴方向单位矢量和对应的旋转角度表示有两种，两种的转轴方向相反，转角之和为360度；但由两种欧拉轴/角方式求出的矩阵是唯一的，因为两个直角坐标系之间的旋转矩阵是唯一的！因此本人昨天回的帖子中通过欧拉轴/角的思想求出的矩阵是唯一的。由欧拉轴/角参数式可计算出两个坐标系之间转换的四元数表达，四元数表达形式有两种。

下面我们介绍一下啥叫奇异情形： 比方拿313旋转顺序来说，oxyz先绕oz轴旋转psi得到坐标系ox1y1z1，ox1y1z1再绕ox1旋转the得到ox2y2z2,ox2y2z2再绕oz2旋转fai得到oXYZ,这种旋转方式就叫313旋转，这种旋转方式的奇异情况发生在the等于0时，你可以画图更直观的看一下，此时psi和fai不能唯一确定，有无穷多个值。因而当你编写程序计算的时候，电脑不知道该给psi和fai赋值多少合适，特别是当the的值由某一个角度值逐渐减小到零的过程中，psi和fai由唯一确定突变为有无穷多个值。
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 09:47:02:

高手老兄谢谢啦，但请耐心点，我数学功底浅，检验正确性慢，通过后100个金币跑不了的，再谢谢了！

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12楼2010-06-18 23:13:27
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nmfsde

木虫 (正式写手)
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bluesine(金币+2):谢谢补充 2010-06-19 08:50:47
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 10:05:36:
我看了两个结果，似乎一个是左手旋，一个是右手旋。这个小问题当然不影响公式正确性。不过还得请教两位，哪个是左旋？
注意转的是坐标系，不是任意点(x,y,z)
我还在检验这个结果，再耐心点。

[ Last edited ...

我不知道你所说的左手旋和右手旋是何意?
你的问题是：直角坐标系X0,Y0,Z0中，有一个向量（a,b,c），坐标系绕此向量左手旋转θ角，此时得到新的直角坐标系X1Y1Z1。（两坐标系原点重合）
请问，在原坐标系中的任意点（x,y,z）,在新坐标系中的坐标为何？请给出解析公式，或者变换矩阵也行



，我昨天的回帖中的给出的旋转矩阵R就是从X0Y0Z0到X1Y1Z1的旋转矩阵，
某矢量在坐标系X0Y0Z0中的表达式为（x,y,z），则该矢量在坐标系X1Y1Z1中的表达式为R*(x,y,z)^T;
其中(x,y,z)^T表示把行向量(x,y,z)写为列向量
求出的R*(x,y,z)^T是列向量。
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13楼2010-06-18 23:24:13
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zzh863973

新虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
呵呵，我不是学数学的，学习一下
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14楼2010-06-18 23:33:38
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nmfsde

木虫 (正式写手)
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bluesine(金币+5):赞@ 2010-06-19 08:50:23
bluesine:这个。。。能简单给下过程否？呵呵 2010-06-18 08:16:52
引用回帖:
Originally posted by nmfsde at 2010-06-17 21:50:55:
解答如图

下面应bluesine的要求给出过程：
e为单位矢量，求绕有向轴e转the角度的旋转矩阵

设矢量a与e夹角为psi，a绕e转动the角度得到矢量a1,则a1与e的夹角仍然为psi。下面我们考虑如何表示a和a1。
在垂直于e的平面M（M过a和a1的断点）上作坐标单位矢量v,u;
v为e叉乘a得到的矢量方向的单位矢量；
u为v叉乘e得到的矢量方向的单位矢量；
过a1的端点作矢量u1,u1=cos(the)*u+sin(the)*v;
即可写出使用e、a以及e叉乘a表示的a1的表达式。
将a1依次换为旋转后得到的新坐标系的x,y,z轴
即得到坐标转移矩阵
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15楼2010-06-19 00:10:37
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+1):呵呵，很久不用就有点疏了，这很正常哦 2010-06-19 08:50:01
Ｎ久没碰纯向量代数的东西了。

最后一次接触纯向量代数（没有坐标系）还是在中学时自学解析几何的时候，后来到了大学，上这门课的时候老师就坚持先引进坐标系，然后才讲向量运算（点乘、叉乘、混合积……）这样做当然省掉了一些技术上的烦琐，但是后果却是离开了坐标系你却什么也干不了了。

只能说我头脑太僵化了，今天这个问题如果我有纯向量代数的哪怕一点念头，都不应该有那么复杂的计算，通过这件事应该检讨自己了！
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16楼2010-06-19 01:19:42
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