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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式
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hao_jian

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式 已有4人参与

直角坐标系X0,Y0,Z0中，有一个向量（a,b,c），坐标系绕此向量左手旋转θ角，此时得到新的直角坐标系X1Y1Z1。（两坐标系原点重合）
请问，在原坐标系中的任意点（x,y,z）,在新坐标系中的坐标为何？请给出解析公式，或者变换矩阵也行。（a,b,c,θ已知）

现有的公式（或者说变换矩阵）都是绕坐标轴旋转。
题目很简单，似乎公式超复杂，我头大了，弄不出来，拜托数学高手！！
先给出正确公式的将得到100金币

[ Last edited by Doctorcbw on 2010-6-17 at 19:05 ]
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1楼 2010-06-17 16:50:12
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
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Doctorcbw(金币+1):谢谢 2010-06-17 19:06:39
思路不止一种，好比说我现在还有一个思路：

首先选取新坐标系 X2 Y2 Z2 使得  原向量（a,b,c）变成新坐标系的 x 轴。这个基变换记做
P;

其次 在 X2 Y2 Z2 中 绕 X 轴旋转 θ角，这个变换记做 A。

最后用(P逆)还原坐标，于是总的变换可以写成 (P逆)AP。

当然坐标是逆变向量，所以坐标变换公式应该是 (P逆)(A逆)P。

具体变换矩阵等会慢慢给你算
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3楼2010-06-17 17:33:12
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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javeey(金币+3):谢谢提供帮助 2010-06-17 22:56:08
hao_jian(金币+20):辛苦了，可惜慢了一步 2010-06-18 10:57:10
bluesine(金币+5):算的很辛苦，奖励一下 2010-06-19 08:52:57


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6楼2010-06-17 22:54:43
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by nmfsde at 2010-06-17 21:50:55:
解答如图

晕菜了，竟然有这么简单的求法？


我那个算法里求 P A (P逆) 的时候计算一大堆，求出来之后还通分，这才发现分子里面原来可以提出公因子 (a^2+b^2) 跟分母消掉，这些计算竟然都是多余的？

从理论上讲，跟 (e1)' 正交的另外两个单位向量 (e2)' (e3)' 可以任意选取，但是结果只有一个，换言之 (e2)' (e3)' 的选取方式与结果无关，这样看来计算 (e2)' (e3)' 确实是多余的，但是我还是不大明白具体多余在什么地方，你能不能把你的思路稍微解释一下呢？

[ Last edited by Pchief on 2010-6-17 at 23:05 ]
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7楼2010-06-17 23:03:37
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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javeey(金币+2):谢谢参与交流 2010-06-18 13:01:34
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 10:05:36:
我看了两个结果，似乎一个是左手旋，一个是右手旋。这个小问题当然不影响公式正确性。不过还得请教两位，哪个是左旋？
注意转的是坐标系，不是任意点(x,y,z)
我还在检验这个结果，再耐心点。

[ Last edited ...

你说的左旋右旋，具体指的是什么？

是指旋转θ角时的方向，还是指坐标系的左右手性？

如果是前者，那要看你观察的角度，我那个公式可以保证：如果坐标系是右手系，那么当你右手拇指指向你给的向量(a,b,c)时，其余四指就指示旋转方向。（坐标系是左手系当然就换成左手拇指等等）

如果是后者，我的变换A的行列式是等于正一的，它不会改变坐标系的手性，原来是什么手性变换后还是什么手性。
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11楼2010-06-18 11:39:57
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+1):呵呵，很久不用就有点疏了，这很正常哦 2010-06-19 08:50:01
Ｎ久没碰纯向量代数的东西了。

最后一次接触纯向量代数（没有坐标系）还是在中学时自学解析几何的时候，后来到了大学，上这门课的时候老师就坚持先引进坐标系，然后才讲向量运算（点乘、叉乘、混合积……）这样做当然省掉了一些技术上的烦琐，但是后果却是离开了坐标系你却什么也干不了了。

只能说我头脑太僵化了，今天这个问题如果我有纯向量代数的哪怕一点念头，都不应该有那么复杂的计算，通过这件事应该检讨自己了！
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16楼2010-06-19 01:19:42
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