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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式
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hao_jian

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式 已有4人参与

直角坐标系X0,Y0,Z0中，有一个向量（a,b,c），坐标系绕此向量左手旋转θ角，此时得到新的直角坐标系X1Y1Z1。（两坐标系原点重合）
请问，在原坐标系中的任意点（x,y,z）,在新坐标系中的坐标为何？请给出解析公式，或者变换矩阵也行。（a,b,c,θ已知）

现有的公式（或者说变换矩阵）都是绕坐标轴旋转。
题目很简单，似乎公式超复杂，我头大了，弄不出来，拜托数学高手！！
先给出正确公式的将得到100金币

[ Last edited by Doctorcbw on 2010-6-17 at 19:05 ]
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1楼 2010-06-17 16:50:12
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+2):谢谢参与交流 2010-06-17 22:54:46
bluesine:这个。。。能简单给下过程否？呵呵 2010-06-18 08:16:52
hao_jian(金币+50):谢谢啦！分两次给 2010-06-18 10:54:55
hao_jian(金币+50):结果太好了！ 2010-06-18 10:55:49
wuguocheng:授予EPI专家指数一枚 2010-06-18 21:09:13
bluesine(数学EPI+1):补上 2010-06-19 08:51:31
解答如图
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4楼2010-06-17 21:50:55
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nmfsde

木虫 (正式写手)
bluesine:这位大哥。可以简单给出过程吗，我代楼主帮助你转移金币，呵呵 2010-06-18 08:18:31
求100金币
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5楼2010-06-17 21:51:52
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
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小雨萌萌(金币+2):谢谢解答，鼓励新虫 2010-06-18 08:04:26
这个方法叫做欧拉轴/角参数式，求坐标转换有多种方法：方向余弦、欧拉角(共12种旋转顺序)、欧拉轴角、四元数法等。

对于这个问题，确定了旋转轴和旋转角，应用欧拉轴角有固定的公式，可在相关著作中寻找，例如章仁为的《卫星轨道姿态动力学与控制》北航出版社，1998。在比较深的力学书籍中也可找到。其基本思想是理论力学中的欧拉定理：刚体绕固定点的任意位移，都可由绕通过此一点的某一轴转过一定角度得到。写成数学形式是转轴方向单位矢量等于旋转矩阵和这个单位矢量的乘积。
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8楼2010-06-17 23:22:19
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nmfsde

木虫 (正式写手)
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javeey(金币+3):谢谢参与交流 2010-06-18 23:44:25
请放心使用，我用坐标系旋转和姿态运动的东西用了好几年了，放心，这是针对该问题最简单的解法。
另外从旋转矩阵没有左旋与右旋之分，如果不出现奇异情形（下面解释啥叫奇异），则两个直角坐标系之间的旋转矩阵是唯一的。也就是说方向余弦的表示方法只有一种；欧拉角式有12种（121，131，212，232，313，323，123，132，213，231，312，321共12种旋转顺序）；欧拉轴/角参数式的轴方向单位矢量和对应的旋转角度表示有两种，两种的转轴方向相反，转角之和为360度；但由两种欧拉轴/角方式求出的矩阵是唯一的，因为两个直角坐标系之间的旋转矩阵是唯一的！因此本人昨天回的帖子中通过欧拉轴/角的思想求出的矩阵是唯一的。由欧拉轴/角参数式可计算出两个坐标系之间转换的四元数表达，四元数表达形式有两种。

下面我们介绍一下啥叫奇异情形： 比方拿313旋转顺序来说，oxyz先绕oz轴旋转psi得到坐标系ox1y1z1，ox1y1z1再绕ox1旋转the得到ox2y2z2,ox2y2z2再绕oz2旋转fai得到oXYZ,这种旋转方式就叫313旋转，这种旋转方式的奇异情况发生在the等于0时，你可以画图更直观的看一下，此时psi和fai不能唯一确定，有无穷多个值。因而当你编写程序计算的时候，电脑不知道该给psi和fai赋值多少合适，特别是当the的值由某一个角度值逐渐减小到零的过程中，psi和fai由唯一确定突变为有无穷多个值。
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 09:47:02:

高手老兄谢谢啦，但请耐心点，我数学功底浅，检验正确性慢，通过后100个金币跑不了的，再谢谢了！

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12楼2010-06-18 23:13:27
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+2):谢谢补充 2010-06-19 08:50:47
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 10:05:36:
我看了两个结果，似乎一个是左手旋，一个是右手旋。这个小问题当然不影响公式正确性。不过还得请教两位，哪个是左旋？
注意转的是坐标系，不是任意点(x,y,z)
我还在检验这个结果，再耐心点。

[ Last edited ...

我不知道你所说的左手旋和右手旋是何意?
你的问题是：直角坐标系X0,Y0,Z0中，有一个向量（a,b,c），坐标系绕此向量左手旋转θ角，此时得到新的直角坐标系X1Y1Z1。（两坐标系原点重合）
请问，在原坐标系中的任意点（x,y,z）,在新坐标系中的坐标为何？请给出解析公式，或者变换矩阵也行



，我昨天的回帖中的给出的旋转矩阵R就是从X0Y0Z0到X1Y1Z1的旋转矩阵，
某矢量在坐标系X0Y0Z0中的表达式为（x,y,z），则该矢量在坐标系X1Y1Z1中的表达式为R*(x,y,z)^T;
其中(x,y,z)^T表示把行向量(x,y,z)写为列向量
求出的R*(x,y,z)^T是列向量。
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13楼2010-06-18 23:24:13
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nmfsde

木虫 (正式写手)
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+5):赞@ 2010-06-19 08:50:23
bluesine:这个。。。能简单给下过程否？呵呵 2010-06-18 08:16:52
引用回帖:
Originally posted by nmfsde at 2010-06-17 21:50:55:
解答如图

下面应bluesine的要求给出过程：
e为单位矢量，求绕有向轴e转the角度的旋转矩阵

设矢量a与e夹角为psi，a绕e转动the角度得到矢量a1,则a1与e的夹角仍然为psi。下面我们考虑如何表示a和a1。
在垂直于e的平面M（M过a和a1的断点）上作坐标单位矢量v,u;
v为e叉乘a得到的矢量方向的单位矢量；
u为v叉乘e得到的矢量方向的单位矢量；
过a1的端点作矢量u1,u1=cos(the)*u+sin(the)*v;
即可写出使用e、a以及e叉乘a表示的a1的表达式。
将a1依次换为旋转后得到的新坐标系的x,y,z轴
即得到坐标转移矩阵
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15楼2010-06-19 00:10:37
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