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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式
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hao_jian

木虫 (正式写手)

[交流] 【求助】请教解析几何高手：100金币求坐标任意转动变换的解析公式 已有4人参与

直角坐标系X0,Y0,Z0中，有一个向量（a,b,c），坐标系绕此向量左手旋转θ角，此时得到新的直角坐标系X1Y1Z1。（两坐标系原点重合）
请问，在原坐标系中的任意点（x,y,z）,在新坐标系中的坐标为何？请给出解析公式，或者变换矩阵也行。（a,b,c,θ已知）

现有的公式（或者说变换矩阵）都是绕坐标轴旋转。
题目很简单，似乎公式超复杂，我头大了，弄不出来，拜托数学高手！！
先给出正确公式的将得到100金币

[ Last edited by Doctorcbw on 2010-6-17 at 19:05 ]
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1楼 2010-06-17 16:50:12
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+3):谢谢参与交流 2010-06-18 23:44:25
请放心使用，我用坐标系旋转和姿态运动的东西用了好几年了，放心，这是针对该问题最简单的解法。
另外从旋转矩阵没有左旋与右旋之分，如果不出现奇异情形（下面解释啥叫奇异），则两个直角坐标系之间的旋转矩阵是唯一的。也就是说方向余弦的表示方法只有一种；欧拉角式有12种（121，131，212，232，313，323，123，132，213，231，312，321共12种旋转顺序）；欧拉轴/角参数式的轴方向单位矢量和对应的旋转角度表示有两种，两种的转轴方向相反，转角之和为360度；但由两种欧拉轴/角方式求出的矩阵是唯一的，因为两个直角坐标系之间的旋转矩阵是唯一的！因此本人昨天回的帖子中通过欧拉轴/角的思想求出的矩阵是唯一的。由欧拉轴/角参数式可计算出两个坐标系之间转换的四元数表达，四元数表达形式有两种。

下面我们介绍一下啥叫奇异情形： 比方拿313旋转顺序来说，oxyz先绕oz轴旋转psi得到坐标系ox1y1z1，ox1y1z1再绕ox1旋转the得到ox2y2z2,ox2y2z2再绕oz2旋转fai得到oXYZ,这种旋转方式就叫313旋转，这种旋转方式的奇异情况发生在the等于0时，你可以画图更直观的看一下，此时psi和fai不能唯一确定，有无穷多个值。因而当你编写程序计算的时候，电脑不知道该给psi和fai赋值多少合适，特别是当the的值由某一个角度值逐渐减小到零的过程中，psi和fai由唯一确定突变为有无穷多个值。
引用回帖:
Originally posted by hao_jian at 2010-06-18 09:47:02:

高手老兄谢谢啦，但请耐心点，我数学功底浅，检验正确性慢，通过后100个金币跑不了的，再谢谢了！

赞一下(2人) 回复此楼
12楼2010-06-18 23:13:27
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hao_jian

木虫 (正式写手)
有个思路，
步骤1，把任意旋转分解成依次的3个绕轴旋转；
步骤2，把这3个绕轴旋转的矩阵乘起来；
但本人是化学专业，这两个步骤都无从入手
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2楼2010-06-17 16:57:49
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
Doctorcbw(金币+1):谢谢 2010-06-17 19:06:39
思路不止一种，好比说我现在还有一个思路：

首先选取新坐标系 X2 Y2 Z2 使得  原向量（a,b,c）变成新坐标系的 x 轴。这个基变换记做
P;

其次 在 X2 Y2 Z2 中 绕 X 轴旋转 θ角，这个变换记做 A。

最后用(P逆)还原坐标，于是总的变换可以写成 (P逆)AP。

当然坐标是逆变向量，所以坐标变换公式应该是 (P逆)(A逆)P。

具体变换矩阵等会慢慢给你算
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3楼2010-06-17 17:33:12
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nmfsde

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+2):谢谢参与交流 2010-06-17 22:54:46
bluesine:这个。。。能简单给下过程否？呵呵 2010-06-18 08:16:52
hao_jian(金币+50):谢谢啦！分两次给 2010-06-18 10:54:55
hao_jian(金币+50):结果太好了！ 2010-06-18 10:55:49
wuguocheng:授予EPI专家指数一枚 2010-06-18 21:09:13
bluesine(数学EPI+1):补上 2010-06-19 08:51:31
解答如图
赞一下(5人) 回复此楼
4楼2010-06-17 21:50:55
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