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两个关于矩阵的问题 已有2人参与
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问题 1)假定:矩阵S的所有特征根的实部分大于等于0 求证:是否存在一个正定矩阵P,满足PS+S^TP为半正定矩阵 ps：S^T表示矩阵S的转置 2)假定A是半正定矩阵，B是正定矩阵 求证:是否存在一个正常数c使得cB-A为正定矩阵 谢谢 |
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我没有解决问题，只是提供个可能的思路。 2）显然成立， 因为 对正定矩阵M， 由Courant-Fischer-Weyl 不等式，有 Lambda_min (x,x) <= (Mx, x) <= Lambda_max (x,x) 最大最小特征值，所以对任何 C满足 C* Lambda_B_min > Lambda_A_max, 都有 ( (cB-A)x,x) >0, 也就是从定义来说，cB-A 是正定的。 1）不会作。 可以考虑一步步化简。 （i）因为 PS+S^T P 半正定等价于 ( (PS+S^T P)x, x) >=0. 即 2(Sx, Px)>=0. 因此， Q=V^T*P*V, W=V^{-1}*S*V 将会满足 QW+W^TQ半正定，所以不妨设S在相似下已经是Jordan标准型了。 (ii) 从矩阵维数归纳的话，不妨设S就有且仅有一个Jordan块。 (iii) 如果 PS+S^TP 半正定，那么 P*(S+epsilon) +(S+epsilon)^T*P正定，对任意epsilon>0. 因此不妨假设 S 特征根实部为零。 即使对这样的矩阵，我也构造不出正定矩阵P满足要求， 还是把球踢给楼主吧。 |
5楼2014-03-29 11:38:08
hank612
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