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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 常微分方程求解公式
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新手菜鸟1818

金虫 (小有名气)

[求助] 常微分方程求解公式

虫友们，如下方程（如图2）的解是什么形式的？

初值为图1所示。

其中，X为向量函数，A为常数矩阵，f（x）是向量函数。
常微分方程求解公式
2.jpg


常微分方程求解公式-1
1.jpg
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1楼 2013-11-30 23:08:03
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
做拉普拉斯变换，
(sI-A)X(s)=x(0)+F(s)
求解，再逆变换回来。
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2楼2013-11-30 23:18:44
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新手菜鸟1818

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-11-30 23:18:44
做拉普拉斯变换，
(sI-A)X(s)=x(0)+F(s)
求解，再逆变换回来。

不好意思才看见。拉普拉斯变换什么都忘记了。麻烦您具体解一下，我很菜的。不甚感激。
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3楼2013-11-30 23:24:13
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by 新手菜鸟1818 at 2013-11-30 23:24:13
不好意思才看见。拉普拉斯变换什么都忘记了。麻烦您具体解一下，我很菜的。不甚感激。...

积分变换或信号与线性系统教材中有，看一下性质。【方法】
教材中、网络上有“拉普拉斯变换表”参考一下，就清楚了。【工具】
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4楼2013-12-01 07:09:22
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这种方程除了版主所提的拉氏变换方法外，稍微麻烦些、但最直接的方法就是常数变易法，这在高等数学中已经讨论过它的求解公式，就在同济大学 第六版的上册第311页上，请楼主查看和参阅。
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5楼2013-12-01 17:17:32
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
新手菜鸟1818: 金币+10 2013-12-01 17:52:49
接2楼版主的计算结果：
   X(s)=x0/(s-A)+F(s)/(s-A)
对上式进行逆变换。
运用拉氏变换的位移性质，上式中前者的拉氏反变换为x0*exp(A*t)；
再运用拉氏变换的位移性质和卷积性质，上式中后者的拉氏反变换为：
   Integral｛f(ξ)*exp[A*(t-ξ)]*dξ , 0 ,t},  故：
   x(t)=x0*exp(A*t)+Integral｛f(ξ)*exp[A*(t-ξ)]*dξ , 0 ,t}

解题完毕。
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6楼2013-12-01 17:30:59
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Aaddin

铁虫 (著名写手)
参照《矩阵分析》。有标准通解形式。

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【已不用木虫】有着平凡而简单的生活！也有着丰富而多彩的人生！
7楼2013-12-03 13:05:46
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Aaddin

铁虫 (著名写手)
下午可以帮你查一下，记得有指数形式，下午帮你查一下。

[ 发自小木虫客户端 ]
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【已不用木虫】有着平凡而简单的生活！也有着丰富而多彩的人生！
8楼2013-12-03 13:07:55
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