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微尘、梦想

木虫 (知名作家)

[求助] 隐式欧拉法求解一阶常微分方程

算法：


MATLAB程序：
CODE:
Format long;
N=(b-a)/h;
y=zeros(N+1,1);
y(1)=y0;
x=a:h:b;
var=findsym(f);
for i=2:N+1
   fx=Funval(f,var(1),x(i));
   gx=y(i-1)+h*fx-varvec(2);
   y(i)=NewtonRoot(gx,-10,10,eps);%用牛顿法得出下步的迭代值
end
format short;

其中，Funval是求函数f在点(var(1),x(i))处的值

PS：显示法求解常微分方程的算法都用C语言实现，但隐式法不知道怎么实现，主要是不知道如何求后一个点的导数值，希望高人给指点一下，呵呵……
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任风云变幻，我笑对人生！
1楼 2012-02-23 12:20:33
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sudo

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
余泽成(金币+1): 谢谢参与应助！ 2012-02-25 04:34:01
微尘、梦想(金币+30): ★★★★★最佳答案 谢谢，sudo教会了我很多东西呀，呵呵…… 2012-02-27 13:57:13
隐式欧拉法迭代式右边f(x[n+1], y[n+1])里面的y[n+1]，其实也只是用估计的方法得出来的

一般可以用欧拉法（或者牛顿法和其他别的什么方法）得到它的估计值，所以这个过程实际上是：
CODE:
yt[n+1] = y[n] + h * f(x[n], y[n]);
y[n+1] = y[n] + h * f(x[n+1], yt[n+1]);

梯形法什么的类似，迭代式中f里面的y[n+1]，无论怎样都是需要某种方法先估计出来的
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2楼2012-02-23 13:25:46
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sudo

木虫 (正式写手)
恩，如果不要求通用的方法，只需要针对特定函数的话，也可以先化简迭代式，或者可能可以直接导出y[n+1]的公式什么的~
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3楼2012-02-23 13:29:11
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微尘、梦想

木虫 (知名作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by sudo at 2012-02-23 13:29:11:
恩，如果不要求通用的方法，只需要针对特定函数的话，也可以先化简迭代式，或者可能可以直接导出y[n+1]的公式什么的~

那个MATLAB程序就是用牛顿法得到的下一个值，不过，不知道牛顿法的算法是什么呀，我只知道用牛顿法解方程的公式：
x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f`(x[n])
这是一种切线法，从一端向一个方向逼近方程的根，可是跟这个联系不到一块呀
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任风云变幻，我笑对人生！
4楼2012-02-23 13:38:29
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sudo

木虫 (正式写手)
余泽成(金币+2): 谢谢参与应助！ 2012-02-25 04:34:19
引用回帖:
4楼: Originally posted by 微尘、梦想 at 2012-02-23 13:38:29:
那个MATLAB程序就是用牛顿法得到的下一个值，不过，不知道牛顿法的算法是什么呀，我只知道用牛顿法解方程的公式：
x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f`(x[n])
这是一种切线法，从一端向一个方向逼近方程的根，可是跟这个联 ...

牛顿法是用来做什么的呢？一般是用来求非线性方程的根的：

对于f(x)=0
迭代式x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f`(x[n])
迭代的结果就是f(x)=0的数值解

=============================================

对于y[n+1] = y[n] + h * f(x[n+1], y[n+1])
CODE:
   fx=Funval(f,var(1),x(i)); %里面的x(i)就相当于x[n+1]，var(1)是一个符号变量（其实是等下要求解的y[n+1]），把它们代入到f中之后，得到一个符号表达式
   gx=y(i-1)+h*fx-varvec(2); %其实这里就是方程g(x)=0左边的g(x)，就是y[n] + h*fx - y[n+1] = 0这个方程，里面y[n]是上一步知道的值，fx是含有变量y[n+1]的式子，外面的y[n+1]也视为变量
   y(i)=NewtonRoot(gx,-10,10,eps); %这就是用牛顿法来解非线性方程了

也就是说，这段MATLAB程序里面涉及了符号的运算
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5楼2012-02-23 15:34:57
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sudo

木虫 (正式写手)
余泽成(金币+1): 鼓励交流！ 2012-02-25 04:34:33
如果它的方法要通用的话，在NewtonRoot还必须对gx进行一次符号求导（用diff函数），所以这个方法其实比较蛋疼

还不如直接用前向欧拉给估计了...
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6楼2012-02-23 15:41:38
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微尘、梦想

木虫 (知名作家)
引用回帖:
6楼: Originally posted by sudo at 2012-02-23 15:41:38:
如果它的方法要通用的话，在NewtonRoot还必须对gx进行一次符号求导（用diff函数），所以这个方法其实比较蛋疼

还不如直接用前向欧拉给估计了...

嗯，我也就是想把它搞明白它到底是如何工作的，解常微分方程的显示解法，我都搞明白了，从最简单的欧拉法到四阶龙格-库塔法，不过我在网上找到一篇关于算法分析的文章，结论是隐式算法的稳定性普遍比显式算法高，且只有隐式欧拉方法才是绝对稳定的。
也没仔细看，反正用四阶龙格-库塔法的精度已经非常高了，呵呵……
这是文章的地址：
http://wenku.baidu.com/view/8bcb52492e3f5727a4e96207.html
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任风云变幻，我笑对人生！
7楼2012-02-23 16:50:00
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sudo

木虫 (正式写手)
余泽成(金币+1): 鼓励讨论！ 2012-02-25 04:34:54
引用回帖:
7楼: Originally posted by 微尘、梦想 at 2012-02-23 16:50:00:
嗯，我也就是想把它搞明白它到底是如何工作的，解常微分方程的显示解法，我都搞明白了，从最简单的欧拉法到四阶龙格-库塔法，不过我在网上找到一篇关于算法分析的文章，结论是隐式算法的稳定性普遍比显式算法高， ...

嗯，隐式欧拉的确是有它的意义的。。。不过你好像误会了我的意思我说的是估计y[n+1]那里不用牛顿法而用显式欧拉法来做会方便点
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8楼2012-02-23 17:19:55
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