小木虫

RebelYoung

用含参变量积分行不行？一个思路
Mr__Right

楼主，你那个无穷级数的结果可以推广到更一般的形式，是否能证明？

[latex]\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}[/latex]

[latex]E_{2m}[/latex]是一个整数数列（欧拉数列）中的项，详细定义参考维基：
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number
Edstrayer

引用回帖:
10楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 12:51:33
楼主，你那个无穷级数的结果可以推广到更一般的形式，是否能证明？

\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{E_{2m}}{2\cdot(2m)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2m+1},m\in\mathbb{N}

E_{2 ...

你这个推广对m=1就不成立，更别说一般的m了！
m=1时，你的级数等式为：

[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3[/latex]

这里Euler数[latex]E_{2}=-1[/latex]
而我的级数等式为

[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}[/latex]

两者差一个符号
，
Mr__Right

引用回帖:
11楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-04 13:39:17
你这个推广对m=1就不成立，更别说一般的m了！
m=1时，你的级数等式为：
\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3
这里Euler数E_{2}=-1
而 ...

我修正了。你再看看
Edstrayer

引用回帖:
12楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 13:55:10
我修正了。你再看看...

看了，恒等式对m=0，m=1直接验证可知成立，对于m>1如何验证冷在思考中
Edstrayer

引用回帖:
10楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 12:51:33
楼主，你那个无穷级数的结果可以推广到更一般的形式，是否能证明？

\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}

E_{2m}是一个整数数列 ...

你这个推广是错的，
m=0,m=1可以验证是正确的
但是m=2时结果就不对
Mr__Right

引用回帖:
14楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-07 19:00:51
你这个推广是错的，
m=0,m=1可以验证是正确的
但是m=2时结果就不对...

是你验证错了，左边和右边此时都是 [latex]\dfrac{5\pi^5}{1536}[/latex]
xujj2112

还是不明白化成了级数形式，该如何求那个级数的和