一道反常积分的习题
题目：试计算下面的反常积分：
[latex]\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?[/latex]
并由此推出下面的无穷级数恒等式：
[latex]\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}[/latex]
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第一个反常积分 Ln x 如果没有平方的话等于0，有平方不知道怎么算了
[latex]\dfrac{\pi^3}{8}[/latex]
求告知解题步骤
求过程。。。我就只会用级数来计算那个积分，不过好像级数不好求。我记得欧拉对这个级数给出过一个不严格的求法
可以尝试先求解这个积分：
[latex]\int_0^1x^n\ln(x)^2{\rm d}x[/latex]
变量代换[latex]t=\dfrac{1}{x}[/latex]再试试。
同时考察
[latex]\dfrac{1}{1+x^2}[/latex]的级数形式
，
的确，难点在第二个问题。