我来换个话题

设 k 是非负整数. 可以证明(不难看出), (k!)^2 mod(2k+1) 只有三种可能, 0, 1 或者 -1.

问: 当k取什么值时, 模为0 ?
当k取什么值时, 模为1 ?

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-07 04:34:32
我来换个话题

设 k 是非负整数. 可以证明(不难看出), (k!)^2 mod(2k+1) 只有三种可能, 0, 1 或者 -1.

问: 当k取什么值时, 模为0 ?
当k取什么值时, 模为1 ?

当2k+1为合数时，[latex](k!)^2\equiv 0(mod2k+1)[/latex]

引用回帖:

3楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 09:19:03
当2k+1为合数时，(k!)^2\equiv 0(mod2k+1)...

由于[latex]n(n+2)(n!)^2=((n+1)!)^2-(n!)^2[/latex], 有限和只有最后一项和最前一项， 即[latex]((\frac{p-1}{2})!)^2-1[/latex]

注意到 [latex]((\frac{p-1}{2})!)^2 \equiv (\frac{p-1}{2})!\cdot -(p-1)\cdot -(p-2)\dots -(p-\frac{p-1}{2}) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)! (\mod p)[/latex]

当p是个奇数时，如果 p是合数，那么[latex](p-1)!\equiv 0 (\mod p)[/latex], 如果p是
素数， 那么[latex](p-1)!\equiv -1 (\mod p)[/latex] 这是Wilson定理，
https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem

由于楼主的[latex]p\equiv 3 (\mod 4)[/latex]奇素数， 于是 [latex](-1)^{\frac{p-1}{2}}(-1)-1=0[/latex]
，