实对称矩阵，正定。

对称矩阵正定当且仅当各阶主子式大于零。你直接计算二阶，三阶主子式，它们都可以因式分解，马上看出你的不等式条件无法满足这两个主子式为正。命题不成立。楼主是不是被误导认为给出的这种样子的对称矩阵都是正定的？

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证特征根全大于零

我记得如果对角线元素大于该对角元素所在行的所有元素和，也可以证明正定的。

你可以去求证一下，好像还要加一个什么条件。