一道复旦高数题
(10') 1.证明:[latex]\int_{0}^{1}\left ( 1+\sin \frac{\pi}{2}x \right )^ndx> \frac{2^{n+1}-1}{n+1},(n=1,2,3\cdots )[/latex]。
2.求极限:[latex]\lim_{n \to \infty }\left ( \int_{0}^{1}\left ( 1+\sin \frac{\pi}{2}x \right )^ndx \right )^\frac{1}{n}.[/latex]
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第二个应该是1？
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前一个加一项cos积分得到右边。
第二个不是1，由第一个知道大于2，不妨细算一下。
大于等于2，在做一个估计，最后应该是2
[latex]2^n = \int_{0}^{1}(1+1)^ndx \ge \int_{0}^{1}(1+\sin\frac{\pi x}{2})^ndx > \int_{0}^{1}(1+x)^ndx = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}[/latex]
[latex]2 \ge L \ge \sqrt[n]{\frac{2^{n+1}-1}{n+1}} = 2[/latex]
非常给力。alober好俊的分析功夫
，