Contents
1 Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Differential Calculus in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Frechet Derivatives and Gateaux Derivatives . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Nemytscki Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 High-Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Implicit Function Theorem and Continuity Method . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Continuity Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Lyapunov–Schmidt Reduction and Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Lyapunov–Schmidt Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 A Perturbation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.4 Gluing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.5 Transversality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4 Hard Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.4.1 The Small Divisor Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.2 Nash–Moser Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Fixed-Point Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1 Order Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2 Convex Function and Its Subdifferentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.1 Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.2 Subdifferentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 Convexity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4 Nonexpansive Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5 Monotone Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.6 Maximal Monotone Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
VIII Contents
3 Degree Theory and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1 The Notion of Topological Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2 Fundamental Properties and Calculations of Brouwer Degrees . 137
3.3 Applications of Brouwer Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.1 Brouwer Fixed-Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.2 The Borsuk-Ulam Theorem and Its Consequences . . . . . 148
3.3.3 Degrees for S1 Equivariant Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.3.4 Intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.4 Leray–Schauder Degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5 The Global Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6.1 Degree Theory on Closed Convex Sets . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6.2 Positive Solutions and the Scaling Method . . . . . . . . . . . . 180
3.6.3 Krein–Rutman Theory for Positive Linear Operators . . . 185
3.6.4 Multiple Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.6.5 A Free Boundary Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.6.6 Bridging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.7 Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.7.1 Set-Valued Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.7.2 Strict Set Contraction Mappings
and Condensing Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.7.3 Fredholm Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 Minimization Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.1 Variational Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1.1 Constraint Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1.2 Euler–Lagrange Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.1.3 Dual Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.2 Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.1 Fundamental Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.3 The Prescribing Gaussian Curvature Problem
and the Schwarz Symmetric Rearrangement . . . . . . . . . . 223
4.3 Quasi-Convexity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.3.1 Weak Continuity and Quasi-Convexity . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.3.2 Morrey Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.3.3 Nonlinear Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.4 Relaxation and Young Measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.4.1 Relaxations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.4.2 Young Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.5 Other Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.5.1 BV Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.5.2 Hardy Space and BMO Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.5.3 Compensation Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.5.4 Applications to the Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . 274
Contents IX
4.6 Free Discontinuous Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.6.1 Γ-convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.6.2 A Phase Transition Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.6.3 Segmentation and Mumford–Shah Problem . . . . . . . . . . . 284
4.7 Concentration Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.7.1 Concentration Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4.7.2 The Critical Sobolev Exponent and the Best Constants 295
4.8 Minimax Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.8.1 Ekeland Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.8.2 Minimax Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
4.8.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
5 Topological and Variational Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.1 Morse Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.1.2 Deformation Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.1.3 Critical Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.1.4 Global Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.2 Minimax Principles (Revisited) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.2.1 A Minimax Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.2.2 Category and Ljusternik–Schnirelmann
Multiplicity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
5.2.3 Cap Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.2.4 Index Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
5.2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.3 Periodic Orbits for Hamiltonian System
and Weinstein Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.3.1 Hamiltonian Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
5.3.2 Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.3.3 Weinstein Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
5.4 Prescribing Gaussian Curvature Problem on S2 . . . . . . . . . . . . . 380
5.4.1 The Conformal Group and the Best Constant . . . . . . . . . 380
5.4.2 The Palais–Smale Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.4.3 Morse Theory for the Prescribing Gaussian Curvature
Equation on S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5.5 Conley Index Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
5.5.1 Isolated Invariant Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
5.5.2 Index Pair and Conley Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
5.5.3 Morse Decomposition on Compact Invariant Sets
and Its Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

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