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bressnon

新虫 (初入文坛)

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[求助] 偏微分方程极值原理相关应用求助已有1人参与

设 $\Omega\subseteq\mathds{R}^{n}$ 是有界区域， $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ ，满足 $\Delta u+u_{x_1}^3+ \cdots +u_{x_n}^3 \geq 0$ in $\Omega$ .
证明： $\max\limits_{\bar{\Omega}} u = \max\limits _{\partial \Omega} u$ .

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1楼 2015-06-27 18:54:50

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个人想法：(1<=i<=n) {(u_xi)^2}应该在Ω上有一致的界，并记为M， M>0(排除u≡C的情形，若u是常数，证明是平凡的).
从而0<=原方程<=Δu+M*(u_x1+u_x2+…+u_xn)，将方程线性化，再利用线性的弱极大值原理，即可推出要证的结论。

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PreferenceforMathematics

2楼2015-06-27 20:34:42

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3楼2015-06-28 13:51:51

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