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doudou1219

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[求助] 求助微分方程求解问题已有1人参与

求助微分方程求解问题

谢谢各位大神

求助微分方程求解问题

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1楼 2015-05-13 22:11:36

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doudou1219

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引用回帖:

3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-05-14 03:42:25
\frac{ydy}{ay+\frac{b}{\sqrt{x}}+c}=\frac{A}{\sqrt{x}}dx
ydy=\left(ay+\frac{b}{\sqrt{x}}+c\right)\frac{A}{\sqrt{x}}dx
dy=\frac{aA}{\sqrt{x}}dx+\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx} ...

专家您好！感谢您的帮助。

由于本人水平有限，尚有一处不明，再次请教。

做y关于x和z的变化，变换形式的依据是什么？

4楼2015-05-14 08:34:19

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查看全部 9 个回答

feixiaolin

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令u=sqrt(x)
则 dx/sqrt(x)=2du
先求关于y(u)的方程

2楼2015-05-13 22:38:42

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Edstrayer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
doudou1219: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2015-05-14 08:32:46

$\frac{ydy}{ay+\frac{b}{\sqrt{x}}+c}=\frac{A}{\sqrt{x}}dx$

$ydy=\left(ay+\frac{b}{\sqrt{x}}+c\right)\frac{A}{\sqrt{x}}dx$

$dy=\frac{aA}{\sqrt{x}}dx+\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)\frac{dx}{y}$

然后做变换 $y=2aA\sqrt{x}+z$ ，代入上式就得到：

$\left(2aA\sqrt{x}+z\right)dz=\left(\frac{bA}{x}+\frac{cA}{\sqrt{x}}\right)dx$

然后对上式积分就得到：

$\frac{4}{3}aAx^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}z^2=bA\ln x+2cA\sqrt{x}+C$

在上式中解出z再代入 $y=2aA\sqrt{x}+z$ 就得出了所要求的微分方程的通解，其中C是任意的积分常数。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2015-05-14 03:42:25

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Edstrayer

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4楼: Originally posted by doudou1219 at 2015-05-14 08:34:19
专家您好！感谢您的帮助。

由于本人水平有限，尚有一处不明，再次请教。

做y关于x和z的变化，变换形式的依据是什么？...

做变换 $y=2aA\sqrt{x}+z$ 的目的是为了消掉方程中的项 $\frac{aA}{\sqrt{x}dx$ ，这是根据方程的结构特点而做的，不同的具体方程所做的变换也不同，与具体方程的结构有关，需要具体问题具体分析。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2015-05-15 01:43:07

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