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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 抛物型偏微分方程的数值解求解问题，谢谢！
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)

[求助] 抛物型偏微分方程的数值解求解问题，谢谢！

需要求解如下抛物型偏微分方程：
du/dt=-1/2(du2/dx2)+f(x,t)
加上一定的初始条件和边界条件。
打算采用有限差分法求解，疑惑在于：采用Crank-Nicolson格式进行离散化时，由于系数a=-1/2（看到所有的文献资料中的例子，均设a>0），导致网格比r=a*delta_t/(delta_x*delta_x)是负数，在这种情况下，Crank-Nicolson格式还是恒稳定的吗？谢谢！

另外，如果这个偏微分方程只有初始条件，而不能确定边界条件（两个边界条件都没有），应该属于反边界问题吗？能求解吗？谢谢！
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1楼 2013-01-10 22:11:41
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zjppzhu: 金币+2, ★★★很有帮助, 回答了部分疑惑，谢谢！ 2013-01-11 21:46:52
这是一个线性微分方程，如果边界条件不复杂，可以求出解析解的，这样不是更好。
如果一定要用数值解，这里有个问题，一般而言，方程的解中会包含因子exp(-at)，即若a>0，则解会随着时间的增长而衰减，此时我们称解是稳定的（注意：是数学上的稳定，不是数值意义上的稳定）。如你所说，若a<0，则解在数学上都不稳定，那么通过数值方法也一定得不到稳定的解。
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3楼2013-01-11 00:12:37
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普通回帖

zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
谢谢！可惜没有我这种情况的：（
我的问题特殊性在于：那个系数a=-1/2，是个负数，而所有看到的资料上，这个a>0？就是搞不清楚，在这种情况下进行有限差分法求数值解行不行？
我对于偏微分方程的了解得实在太少了，不好意思呀。
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2楼2013-01-10 22:30:23
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
感谢您的答复！我根据问题推导得到的偏微分方程如上面所述，如果初始条件不能用数学表达式表达出来（如随机信号、脑电信号等），应该得不到解析解了吧？还有，根据问题的先验知识，还定不出边界条件（也可能是我的功底太弱，不知道如何定，只好先用Dirichlet、Neumann、Robin边界条件试试）。但如你上面所述，若a<0会导致解不稳定，那整个模型就废掉了，呜呜.......
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4楼2013-01-11 21:44:23
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
我想了一下，我的模型即使在a<0时，应该还是有希望有解的，因为du/dt=-1/2(d2u/dx2)+f(x,t)中最右边的非齐次项是-detla×u，而delta是征得、可调的微小量，这样的话，在解析解中，会贡献一个exp(-1/(detla)^2*t)因子，应该有希望可以抵消掉发散的exp(-at)项吧？还请上面的大侠和其他各位们不吝赐教，谢谢！
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5楼2013-01-11 22:18:12
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
zjppzhu: 金币+8, ★★★很有帮助, 感谢您的回复！ 2013-01-12 12:16:08
引用回帖:
4楼: Originally posted by zjppzhu at 2013-01-11 21:44:23
感谢您的答复！我根据问题推导得到的偏微分方程如上面所述，如果初始条件不能用数学表达式表达出来（如随机信号、脑电信号等），应该得不到解析解了吧？还有，根据问题的先验知识，还定不出边界条件（也可能是我的功 ...

从方程上看，如果边界条件不是很复杂（如你所说，是Dirichlet、Neumann边界条件），这个问题可以得到解析解。用分离变量法中关于解非齐方程非齐边界的本征函数展开法可以试试，这里初始条件不需要是一个连续函数，只要能够做Fourier级数展开即可。
另一方面，即便是真的找不到解析解，那么由于a<0导致解不稳定，通常的数值方法不能再用，不过在数值方法里还有一种称为相对稳定的稳定性分析，楼主可能要找找这方面的文献了(我一般只做绝对稳定的数值方法)，看看有没有新路子。
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6楼2013-01-11 22:18:13
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
非常感谢楼上的答复！关于分离变量法求解非齐方程非齐边界的本征函数展开法、数值方法关于“相对稳定的稳定性分析”有没有好的文献或者书籍推荐？万分感谢！
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7楼2013-01-12 12:14:10
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by zjppzhu at 2013-01-12 12:14:10
非常感谢楼上的答复！关于分离变量法求解非齐方程非齐边界的本征函数展开法、数值方法关于“相对稳定的稳定性分析”有没有好的文献或者书籍推荐？万分感谢！

本征函数展开法（也有称特征函数展开法，Fourier级数展开法）是数学物理方程或偏微分方程求解的一个基本方法，基本在各类数学物理方程或偏微分方程教材中都有提及，比如中科大严镇军的《数学物理方程》，陈祖曦的《偏微分方程》，复旦姜礼尚的《数学物理方程讲义》等等。
至于相对稳定的稳定性分析，在李荣华的《微分方程数值解法》和胡建伟、汤怀民的《微分方程数值方法》中略有提及，但这方面详细的讲解我就不清楚哪本书里有了。
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
8楼2013-01-14 21:48:47
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
非常感谢！
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9楼2013-01-16 20:58:13
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xuqiang_sdu

铜虫 (初入文坛)
Cracknicolson格式不再无条件稳定，而是条件稳定的。需要对网格比加以限制。换句话说dt不能太大。具体我没推导。仅供参考。如果没有边界条件(连周期性或者紧支集的那种都没有的话)那就考虑解析的方法吧。Fourier transform试试
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10楼2013-03-14 16:02:00
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