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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 抛物型偏微分方程的数值解求解问题，谢谢！
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)

[求助] 抛物型偏微分方程的数值解求解问题，谢谢！

需要求解如下抛物型偏微分方程：
du/dt=-1/2(du2/dx2)+f(x,t)
加上一定的初始条件和边界条件。
打算采用有限差分法求解，疑惑在于：采用Crank-Nicolson格式进行离散化时，由于系数a=-1/2（看到所有的文献资料中的例子，均设a>0），导致网格比r=a*delta_t/(delta_x*delta_x)是负数，在这种情况下，Crank-Nicolson格式还是恒稳定的吗？谢谢！

另外，如果这个偏微分方程只有初始条件，而不能确定边界条件（两个边界条件都没有），应该属于反边界问题吗？能求解吗？谢谢！
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1楼 2013-01-10 22:11:41
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
感谢您的答复！我根据问题推导得到的偏微分方程如上面所述，如果初始条件不能用数学表达式表达出来（如随机信号、脑电信号等），应该得不到解析解了吧？还有，根据问题的先验知识，还定不出边界条件（也可能是我的功底太弱，不知道如何定，只好先用Dirichlet、Neumann、Robin边界条件试试）。但如你上面所述，若a<0会导致解不稳定，那整个模型就废掉了，呜呜.......
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4楼2013-01-11 21:44:23
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
谢谢！可惜没有我这种情况的：（
我的问题特殊性在于：那个系数a=-1/2，是个负数，而所有看到的资料上，这个a>0？就是搞不清楚，在这种情况下进行有限差分法求数值解行不行？
我对于偏微分方程的了解得实在太少了，不好意思呀。
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2楼2013-01-10 22:30:23
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zjppzhu: 金币+2, ★★★很有帮助, 回答了部分疑惑，谢谢！ 2013-01-11 21:46:52
这是一个线性微分方程，如果边界条件不复杂，可以求出解析解的，这样不是更好。
如果一定要用数值解，这里有个问题，一般而言，方程的解中会包含因子exp(-at)，即若a>0，则解会随着时间的增长而衰减，此时我们称解是稳定的（注意：是数学上的稳定，不是数值意义上的稳定）。如你所说，若a<0，则解在数学上都不稳定，那么通过数值方法也一定得不到稳定的解。
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
3楼2013-01-11 00:12:37
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zjppzhu

铜虫 (初入文坛)
我想了一下，我的模型即使在a<0时，应该还是有希望有解的，因为du/dt=-1/2(d2u/dx2)+f(x,t)中最右边的非齐次项是-detla×u，而delta是征得、可调的微小量，这样的话，在解析解中，会贡献一个exp(-1/(detla)^2*t)因子，应该有希望可以抵消掉发散的exp(-at)项吧？还请上面的大侠和其他各位们不吝赐教，谢谢！
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5楼2013-01-11 22:18:12
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