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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 抛物型偏微分方程的数值解求解问题，谢谢！
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zsmj12

新虫 (初入文坛)
存在非线性抛物型方程吗
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11楼2013-07-12 11:19:41
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
楼主的表达好混乱！两个未知数u和u2，一个方程怎么求解？
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12楼2013-11-12 14:18:19
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
如果这个偏微分方程只有如下初始条件：u(x,0)=φ(x),u(x，t0)=ψ(x)。而不能确定边界条件（两个边界条件都没有），是能够能求解的。综合起来，定解问题的描述如下：
    微分方程：Pu/Pt=-1/2*P^2u/Px^2+f(x,t)                     （1）
      初始条件：u(x,0)=φ(x),u(x，t0)=ψ(x)。               （2）
    其中f(x,t)、φ(x)、ψ(x)均为已知函数。
    求解过程：
     将u=u(x,t)关于变量t的拉氏变换记为U（x,s)；已知函数f(x,t)的相应拉氏变换记为F(x,s)。此处U（x,s）是待求的函数，而F(x,s)因为f(x,t)已知而可求的，因此是已知的。
       方程（1）两边同求拉氏变换：
    s*U-u(x,0)=-1/2*d^2U/dx^2      
       d^2U/dx^2+2*s*U=2*[F(x,s)+u(x,0)]                        （3）
       将s看作常数，则上式（3）为一个二阶常系数非齐次方程，解之获得U=U（x，s)的表达式，再对其求关于s的拉氏反变换，即可求出u(x,t)。由于f(x,t)不定，无法求出F，因此下面进行不下去了。但思路已明确，一旦f确定即可求出u(x,t)。

解题完毕。
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13楼2013-11-12 14:51:35
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
求解过程：
  将u=u(x,t)关于变量t的拉氏变换记为U（x,s)。  方程（1）两边同求拉氏变换：
  s*U-u(x,0)=-1/2*d^2U/dx^2+ x/(s+1)    ,  再将u(x,0)=0代入得：
  d^2U/dx^2+2*s*U=2* x/(s+1)                                 （4）
  将s看作常数，则上式（3）为一个二阶常系数非齐次方程，解之获得U=U（x，s)的表达式：
      U(x,s）= C1(s)*Cos[sqrt(2*s)*x] +C2(s)*Sin[sqrt(2*s)*x] +x/[s*(s+1)]
     根据边界条件：u(0,t)=0和Pu(x，t)/Px(当x=0)=a，得到U(0,s)=0和PU(x，s)/Px(当x=0)=a/s,代入上式，求得C1(s)=0, C2(s)=a/sqrt(2*s)-1/[sqrt(2*s)*s*(s+1)]。
    因此  U(x,s）= {a/sqrt(2*s)-1/[sqrt(2*s)*s*(s+1)]}*Sin[sqrt(2*s)*x] +x/[s*(s+1)] 。
对U(x,s）求拉氏反变换，求得u(x,t):  
因为1/[s*(s+1)]的反变换为1-exp(-t)，因此x/[s*(s+1)] 的反变换即为x*[1-exp(-t)] ；而1/sqrt(s)的拉氏反变换为sqrt(t/π)，故a/sqrt(2*s)的拉氏反变换为a*sqrt(t/(2*π)]；
根据拉氏变换的卷积公式可得a/sqrt(2*s)-1/[sqrt(2*s)*s*(s+1)]的Laplace反变换为：
f1(x,t)= a*sqrt(t/(2*π)]-1/sqrt(2*)*Integral{sqrt(u/)*{1-exp[-(t-u)]}*du,0,t}
= a*sqrt(t/(2*π)]-1/sqrt(2)*{2/3*t^(2/3)-exp(-t)/sqrt(π)*Integral{sqrt(u)*exp(u)]}*du, 0, t}
而Sin[sqrt(2*s)*x]的拉氏反变换求解如下：
若f(t)的拉氏变换为F(s)，依据拉氏变换的基本性质：
（1）Integral[f(t),0, t]的拉氏变换为F(s)/s；
（2）由欧拉公式有Sint=[exp(i*t)-exp(-i*t)]/(2*i) ，也就是说求Sin[a*sqrt（s）]的拉氏反变换最后归结于求exp[a*sqrt(s) ]的拉氏反变换问题；
（3）查拉氏变换与反变换表知：误差余弦函数2/sqrt(π)*Integral{exp(-ξ^2)*dξ, a/[2*sqrt(t)], ∞}的拉氏变换为exp[-a*sqrt(s)]/s，因此，exp[-a*sqrt(s)]的拉氏反变换应为上述误差余弦函数对t的一阶导数，即为：a/4*exp[-a^2/(4*t)]*1/t^(3/2).
令a=±sqrt(2)*i*x ，则得Sin[sqrt(2*s)*x]的拉氏反变换为：
f2(x,t)=sqrt(2)/4*x*exp[-x^2/(4*t)]/t^(3/2)
再次利用卷积公式，得：
u(x,t)= x*[1-exp(-t)]+Integral{f1(x,u)*f2(x,t-u)*du, 0, t}        

解题完毕
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14楼2013-11-13 10:49:24
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
比较好奇lz的Pde描述的具体模型，看起来更像是反应扩散方程之类的，但是为何a<0?
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PreferenceforMathematics
15楼2015-03-12 01:52:54
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