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napxy木虫 (著名写手)
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[求助]
求解二阶线性常微分方程的通解，请赐教，谢谢！ 已有2人参与
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微分方程为： 方程的通解为：  纯数学问题，高数忘掉了，请熟悉的人解答，最好有详细过程，非诚感谢！ |
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peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
napxy: 金币+10 2015-03-30 21:38:54
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napxy: 金币+10 2015-03-30 21:38:54
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1/X*d^2X/dx^2=-λ^2 (λ≥0) d^2X/dx^2+λ^2*X=0 用试凑法，假设方程解的形式为X=e^(β*x)的形式，其中β为待定参数。代入原方程中得到：β^2+λ^2=0 β1=i*λ ,β2=-i*λ 根据线性常微分方程通解的结构的相关定理得到通解的形式为： 故 X=A'*e^(i*λ*x)+B'*e^(-i*λ*x) 利用欧拉公式：e^(i*λ*x)=Cos(λ*x) + i*Sin(λ*x) e^(-i*λ*x)=Cos(λ*x) - i*Sin(λ*x) 代入上面求出的通解之中， X=A'*Cos(λ*x) +A'*i*Sin(λ*x)+B'*Cos(λ*x)-B'*i*Sin(λ*x) =A'*(1+i)*Cos(λ*x) + B'*(1-i)*Sin(λ*x) =A*Cos(λ*x) + B*Sin(λ*x) |
3楼2015-03-30 18:52:50