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napxy

木虫 (著名写手)

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[求助] 求解二阶线性常微分方程的通解，请赐教，谢谢！已有2人参与

微分方程为：

方程的通解为：

纯数学问题，高数忘掉了，请熟悉的人解答，最好有详细过程，非诚感谢！

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1楼 2015-03-30 17:07:28

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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napxy: 金币+10 2015-03-30 21:38:54

1/X*d^2X/dx^2=-λ^2 (λ≥0)
d^2X/dx^2+λ^2*X=0
用试凑法，假设方程解的形式为X=e^(β*x)的形式，其中β为待定参数。代入原方程中得到：β^2+λ^2=0
β1=i*λ ,β2=-i*λ
根据线性常微分方程通解的结构的相关定理得到通解的形式为：
故 X=A'*e^(i*λ*x)+B'*e^(-i*λ*x)
利用欧拉公式：e^(i*λ*x)=Cos(λ*x) + i*Sin(λ*x)
e^(-i*λ*x)=Cos(λ*x) - i*Sin(λ*x)
代入上面求出的通解之中，
X=A'*Cos(λ*x) +A'*i*Sin(λ*x)+B'*Cos(λ*x)-B'*i*Sin(λ*x)
=A'*(1+i)*Cos(λ*x) + B'*(1-i)*Sin(λ*x)
=A*Cos(λ*x) + B*Sin(λ*x)