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sing00

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[求助] 求助一道极限题

设 $q>1$ ，求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\prod\limits^{n}_{i=1}(1-\frac{1}{q^i})$

能求个 $\prod\limits^{n}_{i=1}(1-\frac{1}{q^i})$ 值的下限也行（要与 $n$ 无关）

求高人相助，谢谢！

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1楼 2015-02-23 21:56:47

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feixiaolin

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以前有人问过。
取对数打开连?\符，归并求和，还原

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3楼2015-02-24 07:07:01

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
sing00(feixiaolin代发): 金币+10 2015-02-24 14:59:50
feixiaolin: 数学EPI+1, http://emuch.net/bbs/viewthread.php?tid=8740247&fpage=1 2015-04-01 19:11:34

http://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol
可以给出精确值. 比如, q=2时, 见附图.

如果只要求下界, 注意到当0<x<0.7968时, 有不等式 ln(1-x)> -2x,
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

所以设k为最小的自然数使得 $q^k \geq \frac{1}{0.7968} > 1.255$ , 那么无限连乘就
$\geq (1-\frac{1}{q})^{k-1}\cdot e^{-2\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{q^k}}=(1-\frac{1}{q})^{k-1}e^{\frac{-2}{q^{k-1}(q-1)}}$

比如, q=2时, 精确值约为 0.2887, 这个下界为e^(-2)=0.1353.

q-Pochhammer.png

Lambert W function.png

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-02-24 07:04:24

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sing00

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feixiaolin: 已代发 2015-02-24 15:00:07

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-02-24 07:04:24
http://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol
可以给出精确值. 比如, q=2时, 见附图.

如果只要求下界, 注意到当0<x<0.7968时, 有不等式 ln(1-x)> -2x,
http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert ...

非常感谢^__^

怎么不能评分啊？麻烦你再发个应助回帖好吗，谢谢

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4楼2015-02-24 12:17:01

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