版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

专家经验: +2500
数学EPI: 7
应助: 381 (硕士)
贵宾: 0.167
金币: 51124.6
散金: 5568
红花: 410
帖子: 5093
在线: 1102.4小时
虫号: 3247778
注册: 2014-06-01
性别: GG
专业: 函数论
管辖: 数学

[交流] 一道数学分析的附加题

中科大的数学分析第一学期期末试题附加题。这个题出得相当深度，用到数学分析好多知识，贴在下面与虫友分享。

设 f 在[0，1]上有连续的导数，且 $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$ 。
求证: $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

回复此楼

凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2015-01-25 00:29:25

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

数学EPI: 7
应助: 282 (大学生)
贵宾: 0.018
金币: 2934.2
散金: 5589
红花: 53
帖子: 1809
在线: 401.6小时
虫号: 3469007
注册: 2014-10-12
性别: MM
专业: 偏微分方程

★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 15:35:20
hylpy: 金币+2 2015-01-26 08:21:18

引用回帖:

5楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-25 13:18:13
大家是否可以证明：(我不知道这是否是已知的定理，如果有哪位专家给个链接的话，万分感谢)

若f(x)在上有连续的m阶导数，那么存在与f无关的常数a1,..,an使得
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})-\int_{0}^1 ...

感觉似乎是Euler-Maclaurin公式，希望以下链接能有所帮助：
http://pan.baidu.com/share/link? ... p;amp;uk=3357831772
此书第一章第三节。

赞一下(2人)

回复此楼

» 本帖已获得的红花（最新10朵）

hank612

PreferenceforMathematics

7楼2015-01-25 15:28:37

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

专家经验: +2500
数学EPI: 7
应助: 381 (硕士)
贵宾: 0.167
金币: 51124.6
散金: 5568
红花: 410
帖子: 5093
在线: 1102.4小时
虫号: 3247778
注册: 2014-06-01
性别: GG
专业: 函数论
管辖: 数学

我的解法:
[证明]:  将[0，1]分为n个等分小区间。
   此时有， $\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
                  $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(\frac{i}{n})dx$
                  $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left [ f(x)-f(\frac{i}{n}) \right ]dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(x-\frac{i}{n})dx, \xi \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ 中值定理
                  $=-\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx, (\frac{i}{n}-x)> 0$
   设 $x\epsilon \left [ \frac{i-1}{n} ,\frac{i}{n}\right ]$ 内， $maxf'(x)=M_{i},minf'(x)=m_{i}$ ， $m_{i}\leqslant f'(\xi )\leqslant M_{i}$
            有 $m_{i}(\frac{i}{n}-x)\leqslant f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)\leqslant M_{i}(\frac{i}{n}-x)$
            有 $m_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant M_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx$
         又因为 $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx=\frac{1}{2n^{2}}$
      由上式    $m_{i}\leqslant \frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}\leqslant M_{i}$
                     $\frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}=f'(\varsigma ),\varsigma \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ ，中值定理，
             $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx=f'(\varsigma )\frac{1}{2n^{2}}$
                     $n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}f'(\varsigma )\frac{1}{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx$
                     ∴ $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

赞一下(1人)

回复此楼

凡事，一笑而过。。。。。。

14楼2015-01-27 10:27:45

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

普通回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
hylpy(feixiaolin代发): 金币+10 2015-01-25 08:10:31

@weft

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6834153&authorid=2161851

请参看 weft大神的精彩证明

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

2楼2015-01-25 02:17:24

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

andy1010101

新虫 (正式写手)

应助: 7 (幼儿园)
金币: 2080
散金: 221
红花: 1
帖子: 606
在线: 100.4小时
虫号: 2919359
注册: 2014-01-07
专业: 计算数学与科学工程计算

★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 15:31:41

也没有很难了，就是积分把区间展开，小区间用中值定理，然后再按照积分定义变回来就是了，按部就班的来，很简单

[ 发自小木虫客户端 ]

赞一下

回复此楼

3楼2015-01-25 09:07:56

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

数学EPI: 7
应助: 282 (大学生)
贵宾: 0.018
金币: 2934.2
散金: 5589
红花: 53
帖子: 1809
在线: 401.6小时
虫号: 3469007
注册: 2014-10-12
性别: MM
专业: 偏微分方程

★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 15:31:46

复化梯形求积公式的误差项。

赞一下

回复此楼

PreferenceforMathematics

4楼2015-01-25 11:04:22

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

大家是否可以证明：(我不知道这是否是已知的定理，如果有哪位专家给个链接的话，万分感谢)

若f(x)在[0,1]上有连续的m阶导数，那么存在与f无关的常数a1,..,an使得
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})-\int_{0}^1 f(x)dx=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n^k}(f^{(k-1)}(1)-f^{(k-1)}(0))+o(\frac{1}{n^{m}})$

比如， $a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{1}{12},\dots$ 与Bernoulli数有关

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

5楼2015-01-25 13:18:13

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 15:32:13

引用回帖:

如果Bernoulli 数根据 $\sum_{k=1}^n k^m=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m {m+1 \choose k} B_k n^{m+1-k}$ 定义，

那么

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{k=1}^m \frac{B_k}{n^k}\cdot \frac{f^{(k-1)}(1)-f^{(k-1)}(0)}{k!}+o(\frac{1}{n^m})$

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

6楼2015-01-25 13:39:31

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

@hank612

8楼2015-01-25 15:59:00

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

weft

木虫 (正式写手)

应助: 125 (高中生)
金币: 2557.3
红花: 13
帖子: 301
在线: 147.4小时
虫号: 2161851
注册: 2012-12-02
专业: 文化学

★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 20:30:27
hylpy: 金币+2 2015-01-26 08:22:27

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-25 02:17:24
weft

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6834153&authorid=2161851

请参看 weft大神的精彩证明

我不是大神，不敢当，爱好数学而已。将近一年没来小木虫了，最近回归，看到你一如既往地活跃在数学版，不仅视野广阔，而且为虫友答疑非常热心和耐心，令人感佩！小木从数学版有你这样一批高手真的是幸事。

赞一下

回复此楼

9楼2015-01-25 19:47:32

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

yzgang25

金虫 (正式写手)

应助: 9 (幼儿园)
金币: 3035.6
散金: 80
红花: 1
帖子: 502
在线: 180.9小时
虫号: 1227381
注册: 2011-03-09
性别: GG
专业: 结构工程

mark

[ 发自小木虫客户端 ]

回复此楼

好好学习，充实每一天，奋斗每一天，进步一点点……

10楼2015-01-25 20:30:07

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 hylpy 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 求老师收留调剂 +4	jiang姜66 2026-03-14	5/250	2026-03-15 20:11 by Winj1e
[考研] 0703 物理化学调剂 +3	我可以上岸的对� 2026-03-13	3/150	2026-03-15 17:32 by 小物理化学
[考研] 274求调剂 +4	时间点 2026-03-13	4/200	2026-03-15 15:29 by Rambo13
[考研] 309求调剂 +4	花与叶@ 2026-03-10	4/200	2026-03-14 21:26 by a不易
[教师之家] 焦虑 +5	水冰月月野兔 2026-03-13	7/350	2026-03-14 15:14 by 农药害害
[考研] 求调剂！ +4	朔朔话 2026-03-09	4/200	2026-03-14 01:38 by JourneyLucky
[考研] 306求调剂 +4	唐薏薏 2026-03-09	4/200	2026-03-14 01:19 by JourneyLucky
[考研] 招收0805（材料）调剂 +3	18595523086 2026-03-13	3/150	2026-03-14 00:33 by 123%、
[考研] 一志愿西南交大，材料专硕317求调剂 +5	lx8568 2026-03-11	5/250	2026-03-13 21:43 by peike
[考研] 0703化学一志愿211 总分320求调剂 +5	玛卡巴卡啊哈 2026-03-11	5/250	2026-03-13 21:40 by JourneyLucky
[考研] 293求调剂 +3	世界首富 2026-03-11	3/150	2026-03-13 16:27 by JourneyLucky
[考研] 【0856】化学工程（085602）313 分，本科学科评估A类院校化学工程与工艺，诚求调剂 +7	小刘快快上岸 2026-03-11	7/350	2026-03-13 16:06 by ruiyingmiao
[考研] 328化工专硕求调剂 +4	。，。，。，。i 2026-03-12	4/200	2026-03-13 14:44 by JourneyLucky
[考研] 一志愿山大07化学 332分四六级已过本科山东双非求调剂！ +3	不想理你 2026-03-12	3/150	2026-03-13 14:18 by JourneyLucky
[考研] 341求调剂 +4	捣蛋猪猪 2026-03-11	4/200	2026-03-12 14:47 by ruiyingmiao
[考研] 420求调剂 +4	莫向外求11 2026-03-10	6/300	2026-03-12 14:41 by ruiyingmiao
[考博] 读博申请 +5	感dd 2026-03-10	7/350	2026-03-11 17:02 by QGZDSYS
[考研] 一志愿：武汉理工，材料工程，英二数二总分314 +3	2202020125 2026-03-10	4/200	2026-03-10 13:54 by xiongyaxuan
[考研] 294 英二数二物化求调剂 +6	米饭团不好吃 2026-03-09	6/300	2026-03-09 23:55 by barlinike
[考研] 一志愿山东大学，总分327，英语二79，有论文，有竞赛，已过四六级 +3	木木目目1 2026-03-09	3/150	2026-03-09 19:52 by yuningshan

24小时热门版块排行榜

[交流] 一道数学分析的附加题

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

» 本帖已获得的红花（最新10朵）