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hylpy

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[交流] 一道数学分析的附加题

中科大的数学分析第一学期期末试题附加题。这个题出得相当深度，用到数学分析好多知识，贴在下面与虫友分享。

设 f 在[0，1]上有连续的导数，且 $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$ 。
求证: $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2015-01-25 00:29:25

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hylpy

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我的解法:
[证明]:  将[0，1]分为n个等分小区间。
   此时有， $\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
                  $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(\frac{i}{n})dx$
                  $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left [ f(x)-f(\frac{i}{n}) \right ]dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(x-\frac{i}{n})dx, \xi \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ 中值定理
                  $=-\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx, (\frac{i}{n}-x)> 0$
   设 $x\epsilon \left [ \frac{i-1}{n} ,\frac{i}{n}\right ]$ 内， $maxf'(x)=M_{i},minf'(x)=m_{i}$ ， $m_{i}\leqslant f'(\xi )\leqslant M_{i}$
            有 $m_{i}(\frac{i}{n}-x)\leqslant f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)\leqslant M_{i}(\frac{i}{n}-x)$
            有 $m_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant M_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx$
         又因为 $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx=\frac{1}{2n^{2}}$
      由上式    $m_{i}\leqslant \frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}\leqslant M_{i}$
                     $\frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}=f'(\varsigma ),\varsigma \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ ，中值定理，
             $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx=f'(\varsigma )\frac{1}{2n^{2}}$
                     $n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}f'(\varsigma )\frac{1}{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx$
                     ∴ $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$