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[交流] 一道数学分析的附加题

中科大的数学分析第一学期期末试题附加题。这个题出得相当深度，用到数学分析好多知识，贴在下面与虫友分享。

设 f 在[0，1]上有连续的导数，且 $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$ 。
求证: $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

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1楼 2015-01-25 00:29:25

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hylpy: 金币+2 2015-01-26 08:21:18

引用回帖:

5楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-25 13:18:13
大家是否可以证明：(我不知道这是否是已知的定理，如果有哪位专家给个链接的话，万分感谢)

若f(x)在上有连续的m阶导数，那么存在与f无关的常数a1,..,an使得
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})-\int_{0}^1 ...

感觉似乎是Euler-Maclaurin公式，希望以下链接能有所帮助：
http://pan.baidu.com/share/link? ... p;amp;uk=3357831772
此书第一章第三节。

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hank612

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7楼2015-01-25 15:28:37

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hylpy

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我的解法:
[证明]:  将[0，1]分为n个等分小区间。
   此时有， $\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
                  $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(\frac{i}{n})dx$
                  $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left [ f(x)-f(\frac{i}{n}) \right ]dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(x-\frac{i}{n})dx, \xi \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ 中值定理
                  $=-\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx, (\frac{i}{n}-x)> 0$
   设 $x\epsilon \left [ \frac{i-1}{n} ,\frac{i}{n}\right ]$ 内， $maxf'(x)=M_{i},minf'(x)=m_{i}$ ， $m_{i}\leqslant f'(\xi )\leqslant M_{i}$
            有 $m_{i}(\frac{i}{n}-x)\leqslant f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)\leqslant M_{i}(\frac{i}{n}-x)$
            有 $m_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant M_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx$
         又因为 $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx=\frac{1}{2n^{2}}$
      由上式    $m_{i}\leqslant \frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}\leqslant M_{i}$
                     $\frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}=f'(\varsigma ),\varsigma \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ ，中值定理，
             $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx=f'(\varsigma )\frac{1}{2n^{2}}$
                     $n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}f'(\varsigma )\frac{1}{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx$
                     ∴ $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

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14楼2015-01-27 10:27:45

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@weft

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6834153&authorid=2161851

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2楼2015-01-25 02:17:24

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也没有很难了，就是积分把区间展开，小区间用中值定理，然后再按照积分定义变回来就是了，按部就班的来，很简单

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3楼2015-01-25 09:07:56

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feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 15:31:46

复化梯形求积公式的误差项。

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4楼2015-01-25 11:04:22

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大家是否可以证明：(我不知道这是否是已知的定理，如果有哪位专家给个链接的话，万分感谢)

若f(x)在[0,1]上有连续的m阶导数，那么存在与f无关的常数a1,..,an使得
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{n})-\int_{0}^1 f(x)dx=\sum_{k=1}^m \frac{a_k}{n^k}(f^{(k-1)}(1)-f^{(k-1)}(0))+o(\frac{1}{n^{m}})$

比如， $a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{1}{12},\dots$ 与Bernoulli数有关

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

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5楼2015-01-25 13:18:13

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feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 15:32:13

引用回帖:

如果Bernoulli 数根据 $\sum_{k=1}^n k^m=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m {m+1 \choose k} B_k n^{m+1-k}$ 定义，

那么

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n})-\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{k=1}^m \frac{B_k}{n^k}\cdot \frac{f^{(k-1)}(1)-f^{(k-1)}(0)}{k!}+o(\frac{1}{n^m})$

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6楼2015-01-25 13:39:31

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8楼2015-01-25 15:59:00

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weft

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feixiaolin: 金币+2 2015-01-25 20:30:27
hylpy: 金币+2 2015-01-26 08:22:27

引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2015-01-25 02:17:24
weft

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6834153&authorid=2161851

请参看 weft大神的精彩证明

我不是大神，不敢当，爱好数学而已。将近一年没来小木虫了，最近回归，看到你一如既往地活跃在数学版，不仅视野广阔，而且为虫友答疑非常热心和耐心，令人感佩！小木从数学版有你这样一批高手真的是幸事。

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9楼2015-01-25 19:47:32

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yzgang25

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mark

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好好学习，充实每一天，奋斗每一天，进步一点点……

10楼2015-01-25 20:30:07

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