一道数学分析的附加题 - 数学 - 基础数学 - 第2页小木虫论坛-学术科研互动平台

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hylpy

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本习题跟weft的习题，是同一个问题。

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凡事，一笑而过。。。。。。

11楼2015-01-25 21:53:17

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hank612

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7楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-01-25 15:28:37
感觉似乎是Euler-Maclaurin公式，希望以下链接能有所帮助：
http://pan.baidu.com/share/link?shareid=3692503162&uk=3357831772
此书第一章第三节。...

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula

确实如此。终之太刀—晓果然博闻广识。

你的证明应该是楼主原来问题最简单的答案了：由Euler-Maclaurin 公式, 显然。

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We_must_know. We_will_know.

12楼2015-01-26 02:03:08

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hylpy: 金币+1 2015-01-26 08:22:55

数学啊！都就饭吃了，惭愧

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13楼2015-01-26 07:57:25

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hylpy

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我的解法:
[证明]:  将[0，1]分为n个等分小区间。
   此时有， $\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx$
                  $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(\frac{i}{n})dx$
                  $\eta _{n}=\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}\left [ f(x)-f(\frac{i}{n}) \right ]dx$
                  $=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(x-\frac{i}{n})dx, \xi \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ 中值定理
                  $=-\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx, (\frac{i}{n}-x)> 0$
   设 $x\epsilon \left [ \frac{i-1}{n} ,\frac{i}{n}\right ]$ 内， $maxf'(x)=M_{i},minf'(x)=m_{i}$ ， $m_{i}\leqslant f'(\xi )\leqslant M_{i}$
            有 $m_{i}(\frac{i}{n}-x)\leqslant f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)\leqslant M_{i}(\frac{i}{n}-x)$
            有 $m_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx\leqslant M_{i}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx$
         又因为 $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}(\frac{i}{n}-x)dx=\frac{1}{2n^{2}}$
      由上式    $m_{i}\leqslant \frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}\leqslant M_{i}$
                     $\frac{\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx}{\frac{1}{2n_{2}}}=f'(\varsigma ),\varsigma \epsilon \left [ \frac{i-1}{n},\frac{i}{n} \right ]$ ，中值定理，
             $\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f'(\xi )(\frac{i}{n}-x)dx=f'(\varsigma )\frac{1}{2n^{2}}$
                     $n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}f'(\varsigma )\frac{1}{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx$
                     ∴ $\lim_{n \to \infty }n\eta _{n}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}f'(x)dx=\frac{1}{2}\left ( f(0)-f(1) \right )$

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14楼2015-01-27 10:27:45

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马克

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15楼2015-01-28 00:37:11

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hylpy: 金币+1 2015-02-07 13:56:37

引用回帖:

14楼: Originally posted by hylpy at 2015-01-27 10:27:45
我的解法:
:  将分为n个等分小区间。
   此时有，\int_{0}^{1}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx
                  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})=\sum_{i=1}^ ...

你这倒数第二行怎么出现的？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]

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16楼2015-02-07 00:46:01

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16楼: Originally posted by wwwd at 2015-02-07 00:46:01
你这倒数第二行怎么出现的？
...

从第9行和倒数第3行，再乘以n推出的

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17楼2015-02-07 13:56:21

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