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我要飞

铁虫 (正式写手)

[求助] 不等式的证明 已有1人参与

当k=2,1<a<2且t>0时，如何得到
>0
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1楼 2014-12-11 19:41:37
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
matlab 画一个三维函数z=2*exp((2-x/2)*y)- exp((x+1)*y)-exp(3*y)+exp((x+2)*y)-1，取z=0断面
x=a ~ [1, 2]，y=t；
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2楼2014-12-11 20:50:13
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不好意思，好像又不行
设k=2, a=1.000001, 作图 y= f(t), 可见t > 1.2 时 f(t) 开始 < 0
不等式的证明
快照77.jpg
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3楼2014-12-11 20:54:17
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我要飞

铁虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2014-12-11 20:54:17
不好意思，好像又不行
设k=2, a=1.000001, 作图 y= f(t), 可见t > 1.2 时 f(t) 开始 < 0

快照77.jpg

那您帮我看看下面函数是不是a的增函数？(1<a<2,k>=2为整数)
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4楼2014-12-11 21:21:25
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

引用回帖:
4楼: Originally posted by 我要飞 at 2014-12-11 21:21:25
那您帮我看看下面函数是不是a的增函数？(1<a<2,k>=2为整数)
f=-\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(k-a/2)}{\Gamma(a/2+k+1)\Gamma(a/2)\Gamma(1-a/2)}...

两张图分别是 k=2 和 k=3的
不等式的证明-1
快照79.jpg
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5楼2014-12-11 23:04:10
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我要飞

铁虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by pippi6 at 2014-12-11 23:04:10
两张图分别是 k=2 和 k=3的

快照79.jpg
...

我做的图也是增的，就是理论上证明不了，可以帮我吗
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6楼2014-12-11 23:30:01
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★
我要飞(feixiaolin代发): 金币+3 2014-12-13 15:37:11
引用回帖:
4楼: Originally posted by 我要飞 at 2014-12-11 21:21:25
那您帮我看看下面函数是不是a的增函数？(1<a<2,k>=2为整数)
f=-\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(k-a/2)}{\Gamma(a/2+k+1)\Gamma(a/2)\Gamma(1-a/2)}...

我们可以尝试着零敲牛皮糖, 来得到想要的. (如果要证明的话, 就从后往前写).  为方便起见, 令a=2A, 于是


关于Gamma函数的性质, 请参考:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

1. 先看看k起的作用.

当k增加1时,  .
当时, 由于是个正的(关于A)单调下降的函数,如果能够证明也是正的(关于A的)单调下降函数, 那么二者乘积应该也是单调下降的.

2.当k =2时, 最快的方法是看图可见单调下降, 加句评论"显然".

笨一点的办法是:


利用,
知道
于是代入上面式子, 取对数Log (因为Log(f(x))和f(x)有相同的单调性质), 看导函数是否在[1/2, 1]上小于零.  导函数写出来是(把A写成x, 看起来舒服些):
.

人力有时而穷. 利用软件, 知道
而函数
在[1/2, 1]上最小值在x=1/2处取到, 等于16/15.

所以导数<0, 所以函数递减.
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We_must_know. We_will_know.
7楼2014-12-12 08:19:36
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★
我要飞(feixiaolin代发): 金币+6 2014-12-13 07:08:32
引用回帖:
6楼: Originally posted by 我要飞 at 2014-12-11 23:30:01
我做的图也是增的，就是理论上证明不了，可以帮我吗...

我能做的也是首先证明如果 f(a,2)增长那么f(a,k) 增长，然后画出 k=2 的导数 f'(a,2)为正。这样就得出函数增加的结论。我不知道这是否qualify数学证明。比如，你怎么证明 sin(x) 在 0 到pi 非负？结论就是利用sin(x)的知识。那么，如果你熟悉Psi函数，Gamma函数，那你就能证明f(a,k)增长的结论。这和证明 sin(x) 在 0 到pi 非负是完全相同的道理。
不等式的证明-2
快照80.jpg
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8楼2014-12-12 09:46:24
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