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我要飞

铁虫 (正式写手)

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[求助] 不等式的证明已有1人参与

当k=2,1<a<2且t>0时，如何得到
$2*e^{((k-a/2)t)}-e^{((a+1)t)}-e^{((k+1)t)}+e^{((a+k)t)}-1$ >0

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1楼 2014-12-11 19:41:37

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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★ ★ ★
我要飞(feixiaolin代发): 金币+3 2014-12-13 15:37:11

引用回帖:

4楼: Originally posted by 我要飞 at 2014-12-11 21:21:25
那您帮我看看下面函数是不是a的增函数？(1<a<2,k>=2为整数)
f=-\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(k-a/2)}{\Gamma(a/2+k+1)\Gamma(a/2)\Gamma(1-a/2)}...

我们可以尝试着零敲牛皮糖, 来得到想要的. (如果要证明的话, 就从后往前写).  为方便起见, 令a=2A, 于是 $\frac{1}{2}<A<1.$

关于Gamma函数 $\Gamma(x)$ 的性质, 请参考: $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

1. 先看看k起的作用.

当k增加1时,   $\frac{\Gamma(k+1-A)}{\Gamma(A+k+2)}=\frac{\Gamma(k-A)}{\Gamma(A+k+1)}\cdot\frac{k-A}{A+k+1}$ .
当 $K\geq 1>A$ 时, 由于 $\frac{k-A}{A+k+1}=\frac{1+2k}{A+k+1}-1$ 是个正的(关于A)单调下降的函数,如果能够证明 $\frac{\Gamma(2A+1)\Gamma(k-A)}{\Gamma(A+k+1)\Gamma(A)\Gamma(1-A)}$ 也是正的(关于A的)单调下降函数, 那么二者乘积应该也是单调下降的.

2.当k =2时, 最快的方法是看图可见单调下降, 加句评论"显然".

笨一点的办法是:
$\frac{\Gamma(2A+1)\Gamma(2-A)}{\Gamma(A+3)\Gamma(A)\Gamma(1-A)}=\frac{\Gamma(2A+1)(1-A)}{\Gamma(A+3)\Gamma(A)}=\frac{2A(1-A)}{(A+2)(A+1)A}\frac{\Gamma(2A)}{(\Gamma(A))^2}$

利用 $\Gamma(t)=\frac{1}{t}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^t}{1+\frac{t}{n}}$ ,
知道 $\frac{\Gamma(2t)}{(\Gamma(t))^2}=\frac{t}{2}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{t}{n})^2}{1+\frac{2t}{n}}$
于是代入上面式子, 取对数Log (因为Log(f(x))和f(x)有相同的单调性质), 看导函数是否在[1/2, 1]上小于零.  导函数写出来是(把A写成x, 看起来舒服些):
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x}{(n+x)(n+2x)}-(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2+x})$ .

人力有时而穷. 利用软件, 知道
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+x)(n+2x)}\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^2}=0.9348...$ 而函数
$\frac{1}{2x}(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2+x})$ 在[1/2, 1]上最小值在x=1/2处取到, 等于16/15.

所以导数<0, 所以函数递减.

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We_must_know. We_will_know.

7楼2014-12-12 08:19:36

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feixiaolin

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matlab 画一个三维函数z=2*exp((2-x/2)*y)- exp((x+1)*y)-exp(3*y)+exp((x+2)*y)-1，取z=0断面
x=a ~ [1, 2]，y=t；

2楼2014-12-11 20:50:13

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pippi6

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【答案】应助回帖

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不好意思，好像又不行
设k=2, a=1.000001, 作图 y= f(t), 可见t > 1.2 时 f(t) 开始 < 0

不等式的证明

快照77.jpg

3楼2014-12-11 20:54:17

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我要飞

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引用回帖:

3楼: Originally posted by pippi6 at 2014-12-11 20:54:17
不好意思，好像又不行
设k=2, a=1.000001, 作图 y= f(t), 可见t > 1.2 时 f(t) 开始 < 0

快照77.jpg

那您帮我看看下面函数是不是a的增函数？(1<a<2,k>=2为整数)
$f=-\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(k-a/2)}{\Gamma(a/2+k+1)\Gamma(a/2)\Gamma(1-a/2)}$

4楼2014-12-11 21:21:25

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