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felix2018铁杆木虫 (正式写手)
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[求助]
大神们来看下这样的一个等式的证明。求指教，谢谢了！！！ 已有1人参与
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对于这样的一个等式，该如何证呢？希望大神们可以说说思路！！！ 6.png |
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hank612
至尊木虫 (著名写手)
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
felix2018: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-09-14 09:49:06
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felix2018: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-09-14 09:49:06
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长文慎入, 以免自误. 我们的目的是在假装只有左边的情况下, 直接计算出右边.然后比较答案,如果一样,就成了一个证明. (1) 先做变量替换 k=j-l, 把求和变量 j=l 到 q-n 换成 k=0 到 q-n-l. 在对k求和的两个组合数乘积中, l卷入两个数, 不适合求和. n在下边, q在上边都只出现一次, 适合求和. 考虑到追求高大上, 我们攻击q. (2)趁手的工具是Newton二项式展开 (3)由于(q choose n+l+k)=( (n+l+k+1)-1+(q-n-l-k) choose (n+l+k+1)-1), 所以对q的求和应该是 q-n-l-k=0 到无穷, 同时乘以级数因子 x^{q-n-l-k}. 但是k本身是求和符号, 所以最后是迫不得已乘以 x^{q-n-l},只是x^{q-n-l-k}参与对q的求和, 多出来的x^k放到对k的求和中. 总结一下(3)就是: 左边乘以 x^{q-n-l},然后对q的求和是 q-n-l =0 到无穷. (4)交换求和顺序, 变成: k=0到无穷在外层, 里面是: q-n-l-k =0到无穷.套用公式后发现, (5) 提出一个因子(1+x)^{-(n+l+1)}后, 里面又是一个标准的Newton二项式, 只是变量是 -x/(1+x). 不用客气,再用一次, 得到 (1+x)^{-(n+l+1)} * ( 1+ (-x/(x+1)))^{-(l+1)}. 这个式子看上去很复杂, 但是确实等于 (1+x)^{-n}. (6) 因此左边的K求和就是(1+x)^{-n}中x^{q-n-l}的系数而已, 也就是老朋友Newton二项式中的 (q-l-1 choose n-1). 恰好吻合. |
2楼2014-09-13 04:25:00
felix2018
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3楼2014-09-13 11:22:58
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4楼2014-09-13 20:44:03
felix2018
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5楼2014-09-14 09:56:30
