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felix2018

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[求助] 大神们来看下这样的一个等式的证明。求指教，谢谢了！！！已有1人参与

对于这样的一个等式，该如何证呢？希望大神们可以说说思路！！！

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世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人！

1楼 2014-09-12 19:47:05

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
felix2018: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2014-09-14 09:49:06

长文慎入, 以免自误.

我们的目的是在假装只有左边的情况下, 直接计算出右边.然后比较答案,如果一样,就成了一个证明.

(1) 先做变量替换 k=j-l, 把求和变量 j=l 到 q-n 换成 k=0 到 q-n-l.

在对k求和的两个组合数乘积中, l卷入两个数, 不适合求和. n在下边, q在上边都只出现一次, 适合求和. 考虑到追求高大上, 我们攻击q.

(2)趁手的工具是Newton二项式展开 $(1+x)^{(-r)}= \sum_{k=0}^{\Infty} {{r+k-1} \choose {r-1}}*x^k$

(3)由于(q choose n+l+k)=( (n+l+k+1)-1+(q-n-l-k) choose (n+l+k+1)-1), 所以对q的求和应该是 q-n-l-k=0 到无穷, 同时乘以级数因子 x^{q-n-l-k}. 但是k本身是求和符号, 所以最后是迫不得已乘以 x^{q-n-l},只是x^{q-n-l-k}参与对q的求和, 多出来的x^k放到对k的求和中.

总结一下(3)就是: 左边乘以 x^{q-n-l},然后对q的求和是 q-n-l =0 到无穷.

(4)交换求和顺序, 变成: k=0到无穷在外层, 里面是: q-n-l-k =0到无穷.套用公式后发现,
$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k {{l+k} \choose l} x^k * (1+x)^{-(n+l+k+1)}$ ,其中,*符号后面就是q求和掉得到的.

(5) 提出一个因子(1+x)^{-(n+l+1)}后, 里面又是一个标准的Newton二项式, 只是变量是 -x/(1+x). 不用客气,再用一次, 得到 (1+x)^{-(n+l+1)} * ( 1+ (-x/(x+1)))^{-(l+1)}. 这个式子看上去很复杂, 但是确实等于
(1+x)^{-n}.

(6) 因此左边的K求和就是(1+x)^{-n}中x^{q-n-l}的系数而已, 也就是老朋友Newton二项式中的 (q-l-1 choose n-1). 恰好吻合.

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We_must_know. We_will_know.

2楼2014-09-13 04:25:00

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felix2018

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2014-09-13 04:25:00
长文慎入, 以免自误.

我们的目的是在假装只有左边的情况下, 直接计算出右边.然后比较答案,如果一样,就成了一个证明.

(1) 先做变量替换 k=j-l, 把求和变量 j=l 到 q-n 换成 k=0 到 q-n-l.

在对k求和的两个组 ...

感谢楼上的回复，我先推导下，以便很好的理解。