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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » [求助]求解极座标上的偏微分方程(Laplace’s Equation)!!!!
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san852

新虫 (初入文坛)

[交流] [求助]求解极座标上的偏微分方程(Laplace’s Equation)!!!! 已有4人参与

????????????? Laplace??s Equation ???????
????????????λ???

[????]?????????????????(Laplace??s Equation)!!!!
Laplace??s Equation .JPG
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1楼 2014-08-28 18:52:26
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
令u=R*C,带入原方程，
Θ*d^2R/dr^2+1/r*Θ*dR/dr+1/r^2*R*d^2Θ/dθ^2=0,
两边同乘以r^2/R*Θ≠0，
r^2/R*d^2R/dr^2+r/(R)*dR/dr=-1/Θ*d^2Θ/dθ^2≡a^2                          (1)
其中a为实积分常数。
由 -1/Θ*d^2Θ/dθ^2≡a^2       得到：
Θ=A*Cos(a*θ)+B*Sin(a*θ)   
由于θ=θ时和θ=θ+2*k*π时，Θ取同样的值，因此
a=0,±1,±2,±3,±4,.......，即a为整数。
由 r^2*d^2R/dr^2+r*dR/dr+a^2*R=0得到：
R=C*r^a+D*r^(-a)
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2楼2014-08-28 22:52:06
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
矛盾; 无解
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
3楼2014-08-29 14:43:56
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dragon_rmb
4楼2014-08-29 17:59:06
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-28 22:52:06
令u=R*C,带入原方程，
Θ*d^2R/dr^2+1/r*Θ*dR/dr+1/r^2*R*d^2Θ/dθ^2=0,
两边同乘以r^2/R*Θ≠0，
r^2/R*d^2R/dr^2+r/(R)*dR/dr=-1/Θ*d^2Θ/dθ^2≡a^2                          (1)
其中a为实积分常数。
...

分离变量之后,得到只能用第二类贝塞尔函数表示的结果;
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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
5楼2014-08-30 08:01:52
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
5楼: Originally posted by Mr__Right at 2014-08-30 08:01:52
分离变量之后,得到只能用第二类贝塞尔函数表示的结果;...

这好像是个欧拉方程吧。
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6楼2014-08-30 17:28:47
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-30 17:28:47
这好像是个欧拉方程吧。...

按照可分离变量的方式求解的话

的确得到常微分方程,标准的解是贝塞尔函数表示形式;
看上去是一道作业题; 不知道是考查什么的
ฏ๎๎๎๎๎๎๎๎๎ฏฏด้้้้้็็็็็้้้้้็็็็็้้้้้็็็้็็็ฏ๎็็็็็็oด้้้้้็็็็็้้้้้็็็็็้้้้้้้้็็็็็้้้้้็็็็็้้
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
7楼2014-08-30 17:37:28
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