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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教如下偏微分方程如何求解
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touchhappy

金虫 (著名写手)

[求助] 请教如下偏微分方程如何求解 已有1人参与

请教一下，形如 请教如下偏微分方程如何求解
其中f(z)是一个多项式函数，比如说 请教如下偏微分方程如何求解-1
边界条件是很简单的。不知道这样的PDE是否能拿到解析解，如果能的话如何求解？或者给一个简单的思路，如果不能的话，数值解有什么好的方法？金币100，不成敬意，谢谢~
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吃货萌萌哒！！
1楼 2014-06-20 16:43:37
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
touchhappy: 金币+50, ★★★很有帮助 2014-06-21 09:04:28
能否设f(x,y)=P(x)*Q(y)
Q*dP/dx=P*Q*P*d^2Q/dy^2
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2
由于左边是x的函数，右边是y的函数，因此：
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2 ≡ m
由 1/P^2*dP/dx= m 得到
  P=-1/(m*x+C)    C 为积分常数；
由 Q*d^2Q/dy^2 = m  
令v=dQ/dy  
则 d^2Q/dy^2=dv/dy=dv/dQ*dQ/dy=v*dv/dy
  v*dv/dQ=m/Q
   v^2=D+m*LnQ     D 为积分常数；
  dQ/dy=±sqrt[D+m*LnQ]
  Integral{dQ/sqrt[D+m*LnQ]}=G±y   G 为积分常数；
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2楼2014-06-20 19:13:54
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touchhappy

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-20 19:13:54
能否设f(x,y)=P(x)*Q(y)
Q*dP/dx=P*Q*P*d^2Q/dy^2
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2
由于左边是x的函数，右边是y的函数，因此：
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2 ≡ m
由 1/P^2*dP/dx= m 得到
  P=-1/(m*x+C)    C 为积分常数 ...

非常感谢。。。
不过不好意思，我原来的方程写的有错误，应该是请教如下偏微分方程如何求解-2
还烦请再看看这个方程，或者直接到这个帖子回复，好答案的话我会采纳，金币全部给你~~
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吃货萌萌哒！！
3楼2014-06-21 09:13:12
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touchhappy

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-20 19:13:54
能否设f(x,y)=P(x)*Q(y)
Q*dP/dx=P*Q*P*d^2Q/dy^2
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2
由于左边是x的函数，右边是y的函数，因此：
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2 ≡ m
由 1/P^2*dP/dx= m 得到
  P=-1/(m*x+C)    C 为积分常数 ...

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7561978
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吃货萌萌哒！！
4楼2014-06-21 09:13:52
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touchhappy

金虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-20 19:13:54
能否设f(x,y)=P(x)*Q(y)
Q*dP/dx=P*Q*P*d^2Q/dy^2
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2
由于左边是x的函数，右边是y的函数，因此：
1/P^2*dP/dx=Q*d^2Q/dy^2 ≡ m
由 1/P^2*dP/dx= m 得到
  P=-1/(m*x+C)    C 为积分常数 ...

其中的边界条件也写得有误，应该是请教如下偏微分方程如何求解-3
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5楼2014-06-21 09:37:41
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

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touchhappy: 金币+50, ★★★很有帮助, 同样感谢，我试试数值解吧 2014-06-21 13:17:05
引用回帖:
5楼: Originally posted by touchhappy at 2014-06-21 09:37:41
其中的边界条件也写得有误，应该是...

抱歉了，让您失望了，求解你这个方程可真的超出我目前的能力范围了。估计没有解析解了，看看别人能否给出稳定、收敛的数值解了。另外纠正一句：f(z)=a+b*z+c*z^2+d*z^3不叫边界条件，只是f(z)的表达式。类似这样的才可称为边界条件：z(x=a,y)=f(y)或z(x,y=b)=g(x)。
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6楼2014-06-21 11:39:17
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sunjia11

新虫 (初入文坛)
假设z关于y的偏导数还是等于z,再利用输运方程的知识，应该可以得到一个解了
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7楼2014-06-22 22:12:59
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