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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 一道极限题目
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sihaozi61

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1楼 2013-09-28 18:15:18
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2013-09-29 08:04:57
0<xn
=(1-1/2)(1-1/4)...(1-1/2^n)
=1/2*3/4*……*（2^n-1)/2^n
<2/3*4/5*……*2^n/(2^n+1),记为yn.
xn^2<xn*yn=1/(2^n+1)→0（n→∞）,
∴xn→0（n→∞）.

没有仔细看!搞错了!
直接上图!
取x=1/2即可!
一道极限题目
x1c2.JPG
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
12楼2013-09-29 20:51:22
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
0<xn
=(1-1/2)(1-1/4)...(1-1/2^n)
=1/2*3/4*……*（2^n-1)/2^n
<2/3*4/5*……*2^n/(2^n+1),记为yn.
xn^2<xn*yn=1/(2^n+1)→0（n→∞）,
∴xn→0（n→∞）.
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2013-09-29 08:04:57
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2013-09-29 08:04:57
0<xn
=(1-1/2)(1-1/4)...(1-1/2^n)
=1/2*3/4*……*（2^n-1)/2^n
<2/3*4/5*……*2^n/(2^n+1),记为yn.
xn^2<xn*yn=1/(2^n+1)→0（n→∞）,
∴xn→0（n→∞）.

问题出在
xn*yn=1/(2^n+1)→0  约简上。
4楼的答复马虎了。
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7楼2013-09-29 15:27:53
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
11楼: Originally posted by sihaozi61 at 2013-09-29 18:30:13
谢谢  同样谢谢hank612~\(≧▽≦)/~
希望更多的人能对这道题目提出意见
...

楼主， 不好意思， 我是来打击你想获得精确解得信心的。

把你的连乘取Log, 得到 (所有求和，对k, 对n, 都是从1到无穷)
\Sum_{n}  Log(1-2^{-n})
=- \Sum_{k} \Sum_{n} 1/(k*2^{nk})
=- \Sum_{k} 1/(k*(2^k-1))

然后我去Mathematica网站试了一下，http://www.wolframalpha.com/inpu ... 2%88%9E%29+1%2F%28k*%282%5Ek+-+1%29%29+

然后就没有然后了，因为答案就是楼主的表达式，它是q-Pochhammer symbol 里面的　(1/2: 1/2)_{\infty}. 所以你要求的就是　(1/2: 1/2)_{\infty}；　无解。

http://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol
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We_must_know. We_will_know.
13楼2013-09-30 02:46:36
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普通回帖

mengbiao

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
前面乘二分之一再除二分之一

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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2楼2013-09-29 07:17:46
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by wurongjun at 2013-09-29 08:04:57
0<xn
=(1-1/2)(1-1/4)...(1-1/2^n)
=1/2*3/4*……*（2^n-1)/2^n
<2/3*4/5*……*2^n/(2^n+1),记为yn.
xn^2<xn*yn=1/(2^n+1)→0（n→∞）,
∴xn→0（n→∞）.

这道奥数题做得好。
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4楼2013-09-29 08:27:15
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sihaozi61

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5楼2013-09-29 13:04:09
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by sihaozi61 at 2013-09-29 13:04:09
谢谢提供帮助！
...

N=5000; a=zeros([1,N]);
a(1)=1/2;
for i=2:N
    a(i)=a(i-1)*(1-1/2^i);
end
b=a(N)

这段Matlab程序跑完后， b=0.2888. 所以极限一定是存在的， 就是不知道精确解是什么。
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We_must_know. We_will_know.
6楼2013-09-29 13:57:04
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-09-29 13:57:04
N=5000; a=zeros();
a(1)=1/2;
for i=2:N
    a(i)=a(i-1)*(1-1/2^i);
end
b=a(N)

这段Matlab程序跑完后， b=0.2888. 所以极限一定是存在的， 就是不知道精确解是什么。...

循环n多次，结果保持在0.2887881上.
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8楼2013-09-29 15:30:22
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sihaozi61

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9楼2013-09-29 17:32:53
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feixiaolin

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优秀版主
引用回帖:
9楼: Originally posted by sihaozi61 at 2013-09-29 17:32:53
刚到家  确实感到有些疑惑
这道题目还是没有真正解决
...

回楼主：
我跑了100万次，结果维持在0.2887881上。
认定就这个数字了。

另外，替你为hank612送花一束。
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10楼2013-09-29 17:52:18
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