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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 一阶微分方程的解析解(伯努利方程带常数项)
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fluenter

银虫 (正式写手)

[求助] 一阶微分方程的解析解(伯努利方程带常数项)

高等数学书上对伯努利方程的求解有描述，
dy/dx+P(x)y=Q(x)y.^n
n不等于0,1

如果方程再加上一个常数项C如何求解啊？
dy/dx+Ay=By.^5 +C
是不是先求出齐次解，然后再求出通解？

[ Last edited by fluenter on 2013-1-6 at 12:37 ]
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每天坚持一件事情
1楼 2013-01-06 09:47:25
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

fluenter

银虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by onesupeng at 2013-01-06 13:14:21
一眼看不出如何求解，但是肯定不是“先求出齐次解，然后再求出通解”，因为这个是线性方程的手段

应该是可以求出解析解的吧？我看了好多只有关于贝努力方程形式的解法，而带有常数项的是否只能求出数值解？
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每天坚持一件事情
3楼2013-01-06 14:43:03
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普通回帖

onesupeng

金虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fluenter: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-01-12 17:10:23
一眼看不出如何求解，但是肯定不是“先求出齐次解，然后再求出通解”，因为这个是线性方程的手段
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
2楼2013-01-06 13:14:21
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wellgpf

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fluenter: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-01-12 17:10:18
一眼看不出如何求解，但是肯定不是“先求出齐次解，然后再求出通解”，因为这个是线性方程的手段
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交流，求知！
4楼2013-01-06 18:05:55
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vect

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fluenter: 金币+5, ★★★很有帮助 2013-01-12 17:10:11
这是变量分离的方程啊，dy/dx=By.^5 -Ay+C
从而dy/(By^5-Ay+C)=dx
两边积分，左边是有理函数的不定积分，必定有解，从而得到一个隐函数解。不过这类方程一般而言不太容易求解的，如次数2次的就是著名的Riccati方程，常系数Riccati方程的通解与二阶线性方程有联系。
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5楼2013-01-08 18:56:09
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huiyuan2012

至尊木虫 (文坛精英)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
fluenter: 金币+20, ★★★很有帮助 2013-01-12 17:09:59
fluenter: 金币+15, ★★★很有帮助 2013-01-12 17:10:49
这个是勒让德方程，除了n取特殊值，否则几乎无法得到解析解。
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6楼2013-01-08 19:48:06
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11jxli1

禁虫 (著名写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
7楼2013-01-08 20:37:19
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fluenter

银虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by huiyuan2012 at 2013-01-08 19:48:06
这个是勒让德方程，除了n取特殊值，否则几乎无法得到解析解。

n=-5
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每天坚持一件事情
8楼2013-01-09 10:03:32
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fluenter

银虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 11jxli1 at 2013-01-08 20:37:19
这是变量分离的方程啊，dy/dx=By.^5 -Ay+C
从而dy/(By^5-Ay+C)=dx
两边积分，左边是有理函数的不定积分，必定有解，从而得到一个隐函数解。不过这类方程一般而言不太容易求解的，如次数2次的就是著名的Riccati方程 ...

n=5
9楼2013-01-09 10:04:02
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fluenter

银虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by huiyuan2012 at 2013-01-08 19:48:06
这个是勒让德方程，除了n取特殊值，否则几乎无法得到解析解。

谢谢啦！
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每天坚持一件事情
10楼2013-01-12 17:08:47
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