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llaier至尊木虫 (职业作家)
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[求助]
求助证明一个数列收敛
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已知f(x)是上凸单调递增连续函数，g(x)是下凸单调递减连续函数。f(x)和g(x)相交于点P。s1和s2是横坐标值，f(x)和g(x)相对应的点为a1，b1，a2，b2，如图所示。直线a1a2与b1b2相交于点P1，P1对应的横坐标为s3，过P1作与x轴垂直的直线，与f(x)和g(x)分别相交于点a3和b3。然后，以a1，b1，a3，b3为四个点，作直线a1a3与b1b3，两条直线相交于点P2。依次生成交点序列{Pn}，求证Pn-->P。 序列Pn生成示意图 |
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shtlyou
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2楼2012-04-24 08:07:48
llaier
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shtlyou
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【答案】应助回帖
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llaier: 金币+5, ★有帮助, 非常感谢！但是您的确只证明了Pn位于P的右侧，而没有证明其收敛性。还是很感谢！ 2012-04-24 23:15:23
llaier: 金币+5, ★有帮助, 非常感谢！但是您的确只证明了Pn位于P的右侧，而没有证明其收敛性。还是很感谢！ 2012-04-24 23:15:23
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证明：由该题给定的上凸单调递增连续函数性质可得对给定的任意两点s1,s2和任意的实数λ∈（0，1）， 总处在f（λs1+(1-λ）s2）>λf(s1)+(1-λ）f(s2)----------------1 且s1 由1、2、3可得f(p)>f1(p),即P点位于直线a1a2上方-----------4 依葫芦画瓢同理可得,即P点位于直线b1b2下方-----------5 设P1是直线a1a2与直线b1b2的交点，由4、5结论及s1 接下来运用数学归纳法做 当n=1时由上述证明可得p1>p. 设当n=K时pk>p, 过PK作X轴的垂线与f(x)、g(x)交点为ak+2、bk+2.直线a1ak+2与直线b1bk+2的交点为Pk+1 同理可得 即P点位于直线a1ak+2上方－－－－－－－－－－５ 即P点位于直线b1bk+2下方－－－－－－－－－－６ 由５、６可得P点位于三角形b1a1Pk+1内部区域，进而得出pk+1>p。 故由以上分析可得 依次生成交点序列{Pn}中Pn-->P， 证毕。急需金币，朋友觉得证明可以的话就多散些金币吧 |
6楼2012-04-24 17:09:39
xiangqianzsh
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lovibond: 金币+1, 鼓励交流 2012-04-25 12:04:17
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| 鉴于初始四点的选择， 和两个曲线都是联系的， 所以在s1 s2之间肯定有交点。 接下来每次替换一组点的规则就是（b1-a1）*（b2-a2）<0，如此选择一定能保证两线交点一定在着四点对应的两个左边之间。由于两个曲线的性质，都是单调的，所以他们有唯一的一个交点。 现在首先架设，某一步得到的新点恰好就是两线交点，则新的点ai bi 相等了。 这样再按照规则找下去就会每次都得到同样的点。 于是点列就收敛了， 并收敛到交点。 另外，如果每次都不能恰好是交点，则，根据规则，（b1-a1）*（b2-a2）不等于0， 于是他们的新的交点一定在他们中间， 并且这四个点对应的两个横坐标是严格递减的，而开始的s1 s2之间距离是有限的， 每次都严格降低，所以si s2一定收敛到一起，s1-s2->0,但是期间两线交点一直在s1 s2之间， 所以，点列是收敛到交点的。这里的证明跟数学分析或着高等数学里面证明思想是一样的。 |
9楼2012-04-25 00:31:57
shtlyou
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llaier: 金币+2, ★有帮助, 谢谢帮助！ 2012-04-25 13:05:38
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收敛性证明:设{Pn}中任意一点为Pk,其横坐标为pk,过Pk作x轴垂线交f(x)于ak+2，交g(x)于bk+2.横坐标为sk+2,(pk＝sk+2)。由上述证明可知sk+2＞p.设直线a1ak+2：y=f1(x)=mx+j；直线b1bk+2：y＝g1(x)＝ex+t。h(x)＝f1(x)-g1(x)＝(m－e)x+j－t。由题意易得h(s1)＜0，h(sk+2)＞0.且sk+2＞s1可得(m－e)＞0,h(x)为单调递增函数，可得h(x)在区间[s1，sk+2]上存在唯一点c，s1＜c＜sk+2,使得h(c)＝0,易得满足此条件的c值即为直线a1ak+2与直线b1bk+2交点的横坐标pk+1，得出pk+1＝c＜sk+2＝pk。故对于｛pn｝中任意pk,pk+1总有pk＞pk+1.由此可得｛pn｝为单调递减数列，且对任意pk均大于p,即此数列为单调递减且有下界的数列。故数列｛pn｝收敛。证毕 [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
10楼2012-04-25 00:41:12
