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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)

[交流] 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵已有22人参与

线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？
不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是
AB=I
和
BA=I
两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ]

证明见39楼和48楼

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ]
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1楼2010-11-04 17:43:01
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
衷心感谢诸君的讨论，并尤其感谢Pchief君！
无论从Pchief君回帖的数量、质量，还是耐心和细致，以及他数学知识的渊博和娴熟，都令我非常感动、肃然起敬！论坛正需要这样的热心朋友来帮助大家，希望今后能从Pchief君那里学到更多的知识！

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-19 at 11:47 ]
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51楼2010-11-18 23:23:23
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
cqsmath(金币+1):谢谢交流！ 2010-11-04 21:29:49
首先，证明 B 的唯一性，就是说如果 AB=AC=I 则 B=C。

事实上，由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。

其次，我们知道，如果 C= A^* / (det A)，其中 A^* 是 A 的伴随矩阵，则有 AC = I。由刚才所证，我们有 B=C。但是这个 C = A^* / (det A) 也满足 CA = I，从而 BA = CA = I，证毕。
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3楼2010-11-04 18:38:01
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流

把我所有的回复汇总一下：


A和B是同阶方阵，则等式 AB=I 蕴涵 BA=I 的证明 （略有简化）

首先感谢 ykwang 提供思路，虽然没有写出具体证明过程，但对证明的简化有一定帮助，鄙人在此收回26楼最后一句话，并郑重向 ykwang 致歉

首先由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 两边右乘 A 得 ABA = A，移项并分离因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每个列 x 满足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（Cramer法则），即 x = 0，这就是说， BA - I 的每个列都是零，从而得到 BA = I。




Cramer法则（若det A ≠ 0，则齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解）的证明（只用到行列式知识，不涉及矩阵）

设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0

于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有

0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n))   其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置

=x(1) det  (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))

=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n))   因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零

=x(j) det A.

由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。




反例：去掉A 和B是矩阵这个背景，AB = I 就不蕴涵 BA=I 了

令 X 是所有平方收敛的实数列的全体，即 X 中的元素形如

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。

X 在如下定义的加法和数乘下面成为实线性空间

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... )

a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R

设 A 和 B 是 X 上的线性变换，定义为：

A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...)
B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... )

通常将 A 和 B 分别称为左推移和右推移。现在，不难验证 AB = I，但

BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。




[ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ]
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39楼2010-11-06 01:35:24
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普通回帖

小雨萌萌

铜虫 (文坛精英)

优秀版主
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
只需要定义一个就可以。根据就是A 和其伴随矩阵的乘积等于A的行列式
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2楼2010-11-04 17:52:38
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
cqsmath(金币+1):谢谢交流！ 2010-11-04 21:30:06
纯形式地讲从 AB = I 是 不能推出 BA = I 的，只是由于 A 跟 B 都是矩阵这一特定的条件才使得这种推导成为可能。
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4楼2010-11-04 18:42:14
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aaron1988

木虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
cqsmath(金币+1):欢迎常来！ 2010-11-04 21:30:16
AB = I  ->   (A^-1)AB=(A^-1)I   ->  IB=A^-1 -> B=A^-1,
BA =I   ->   BA(A^-1) = I(A^-1)   -> B = A^-1;
注意这个方法，只有在A存在逆矩阵的情况下，例如Pchief给出证明。如果A是不存在逆矩阵的，无法成立~
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5楼2010-11-04 21:16:06
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ykwang

金虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
证明：因为AB=I，说明B为A的右逆阵。等式两边同时左乘B给出BAB=BI=B。注意矩阵的乘法满足结合律，故由（BA）B=B可知BA=I，即B也是A的左逆阵。换言之，矩阵A的逆不分左右，且是唯一的。
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Nothing_Is_Impossible!
6楼2010-11-05 09:30:52
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-11-05 09:30:52:
故由（BA）B=B可知BA=I

这步的根据是什么？
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7楼2010-11-05 13:09:14
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
★
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引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-05 13:09:14:



这步的根据是什么？

这步的导出过程和你在3楼的：

“再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。”

是一样的吧: B'(BA-I)'=0, '为转置
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So Trivial !
8楼2010-11-05 13:17:36
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ykwang

金虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-05 13:09:14:

故由（BA）B=B可知BA=I

这步的根据是什么？

其依据是由（BA）B=B可知BA是B的左单位阵，而同样可以证明单位阵不分左右，且是唯一的，所以BA=I。

修改说明：原来的“BA是A的左单位阵”，其中A打错了，应该是B。现已改为“BA是B的左单位阵”。

[ Last edited by ykwang on 2010-11-5 at 19:16 ]
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Nothing_Is_Impossible!
9楼2010-11-05 14:15:44
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
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引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-11-05 14:15:44:

其依据是由（BA）B=B可知BA是A的左单位阵，而同样可以证明单位阵不分左右，且是唯一的，所以BA=I。

[ Last edited by ykwang on 2010-11-5 at 14:16 ]

什么叫左单位阵，解释一下。

单位阵就是单位阵，有明确定义，而你这个左单位阵是哪本书讲到的，我怎么就没听说过，给个出处。
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2010-11-05 13:17:36:


这步的导出过程和你在3楼的：

“再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。”

是 ...

我看他的样子是想纯粹从形式上推导这个命题，我在4楼已经说过，不用到A跟B是矩阵这个具体的背景，比方说行列式，线性方程组这些跟矩阵有关的工具，光形式地推是推不出来的，我可以举反例说明，如果把A跟B是矩阵这个条件去掉，AB=I 并不蕴涵 BA=I。

[ Last edited by Pchief on 2010-11-5 at 15:03 ]
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10楼2010-11-05 14:46:25
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