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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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tiger81

金虫 (小有名气)
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小雨萌萌(金币+1):鼓励一下，期待能有所建树 2010-11-06 20:05:47
      矩阵是定义在域上的或环上的是有区别的。如果矩阵是定义在交换环上的，那么方阵是有行列式定义的，所以AB=I就可以推出来BA=I，而且用AB=I就可以了定义矩阵的可逆性。
      如果矩阵是定义在非交换环上的，那么可逆阵的定义就必须是AB=BA=I, 因为对两个元素a，b，ab=1，但是ba可以不等于1。

[ Last edited by tiger81 on 2010-11-6 at 11:59 ]
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41楼2010-11-06 11:55:21
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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小雨萌萌(金币+1):鼓励多多讨论 2010-11-06 20:06:09
引用回帖:
Originally posted by tiger81 at 2010-11-06 11:55:21:
      矩阵是定义在域上的或环上的是有区别的。如果矩阵是定义在交换环上的，那么方阵是有行列式定义的，所以AB=I就可以推出来BA=I，而且用AB=I就可以了定义矩阵的可逆性。
       ...

非交换环上的矩阵根本无法定义行列式吧，这样的矩阵MS实际用处不大。
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42楼2010-11-06 18:26:21
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
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引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-04 18:38:01:
首先，证明 B 的唯一性，就是说如果 AB=AC=I 则 B=C。

事实上，由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ ...

3楼的证明我认为是对的。矩阵的逆的定义与行列式的定义是独立的，与线性方程组的解的结构定理也是独立的。
只要定义在域上的矩阵就是对的。定义在交换环上的矩阵还不知道，不过感觉左逆（或右逆）的唯一性不成立。非交换环的话就不用谈了。
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43楼2010-11-06 21:10:28
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just_play

至尊木虫 (正式写手)

一个不使用行列式的证明

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So Trivial !
44楼2010-11-08 00:01:11
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
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这个帖子很不错，冒泡赞一个~
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45楼2010-11-09 00:34:22
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
非常感谢各位回帖的朋友！
首先由于事情忙和疏懒，直到现在作为帖主才回帖，谨向各位回帖者表示歉意！
现在把我的证明给出来。
结合39楼Pchief君的证明，现在可以放心地得出结论——不需要线性代数课本用两个等式AB=BA=I定义的逆矩阵的概念，就可以证明出AB=I和BA=I是等价的。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-18 at 23:47 ]
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46楼2010-11-18 23:17:55
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我的证明参考了2楼小雨萌萌君的提示，在此向她表示感谢，就是用到了伴随矩阵的等式（见下面）。
下面用det(M)表示矩阵M的行列式，A*表示A的伴随矩阵。
证明关键用到的知识就是下面两个等式：
1)        det(AB)=det(A)det(B)
2)        A*A=AA*= det(A)I
这两个等式都独立于逆矩阵的概念。
有了这两个等式证明是比较简单的，证明过程如下。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-18 at 23:49 ]
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47楼2010-11-18 23:18:47
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
[证明]
AB=I 利用等式1)  =>  det(AB)=det(A)det(B)=1  =>  det(A)不等于0

在已知的等式AB=I两边同时左乘A*，利用等式2)  =>  A*AB=A*  =>  det(A)B=A*，为利用等式2) 两边再右乘A  =>  det(A)BA=A*A =det(A)I。

因为先已经得出det(A)不等于0，所以  =>  BA=I。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-19 at 10:03 ]
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48楼2010-11-18 23:19:45
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我们可以看出，这个证明关键用到的知识就是上面47楼的两个等式。如果说还有什么的话，那就是要善于利用已知条件，对矩阵等式适当地左乘或者右乘相应的矩阵来试探着得出想要的结果。
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49楼2010-11-18 23:20:57
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我比较仔细地看了诸君回帖的解答，个人更赞赏Pchief君的证明，这一利用Cramer法则以及列分块方法的证明方法很具有代表性，也很简单（另外，按照Pchief君反例的提示，我还意外地学到了知识——和矩阵不同，把问题中的A、B、I 改成线性算子，AB=I 就未必蕴含BA=I 啦！）。对其他的证明，我有的存有异议，有的稍觉别扭。但我感谢所有回帖朋友的证明和热情的讨论！
这里还要补充说明一点。如果撇开本问题的初衷不谈（初衷是假设还没有逆矩阵的定义要从AB=I推导出BA=I，从一个刚学完线性代数课本里逆矩阵前一小节内容的大学低年级学生的角度出发来推导），也就是说，可以考虑用逆矩阵的定义，那么在用的时候，最好明确说明逆矩阵的定义，比如用两个等式AB=BA=I定义的逆矩阵的概念。按这样的约定，从AB=I推导出BA=I才是合乎逻辑的。这其实也就是现在线性代数课本中已有的结论体系。因此从这个意义来说，tiger81君在25楼的回答以及stcmm君在29楼的回答都是正确的。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-18 at 23:46 ]
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50楼2010-11-18 23:21:14
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