把我所有的回复汇总一下：
A和B是同阶方阵，则等式 AB=I 蕴涵 BA=I 的证明 （略有简化）
首先感谢 ykwang 提供思路，虽然没有写出具体证明过程，但对证明的简化有一定帮助，鄙人在此收回26楼最后一句话，并郑重向 ykwang 致歉
首先由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 两边右乘 A 得 ABA = A，移项并分离因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每个列 x 满足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（Cramer法则），即 x = 0，这就是说， BA - I 的每个列都是零，从而得到 BA = I。
Cramer法则（若det A ≠ 0，则齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解）的证明（只用到行列式知识，不涉及矩阵）
设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0
于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有
0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n)) 其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置
=x(1) det (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))
=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n)) 因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零
=x(j) det A.
由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。
反例：去掉A 和B是矩阵这个背景，AB = I 就不蕴涵 BA=I 了
令 X 是所有平方收敛的实数列的全体，即 X 中的元素形如
(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。
X 在如下定义的加法和数乘下面成为实线性空间
(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... )
a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R
设 A 和 B 是 X 上的线性变换，定义为：
A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...)
B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... )
通常将 A 和 B 分别称为左推移和右推移。现在，不难验证 AB = I，但
BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。
[ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ] |
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