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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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Pchief

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引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-11-05 21:42:45:

关于左逆阵和右逆阵的概念见：
《线性代数》， 朝嵩金,正敏段,汉明王, 清华大学出版社, 2006. p65。

我在网上只查到：

《线性代数》， 金朝嵩,段正敏,王汉明, 清华大学出版社。

虽然我不知道你那念名字的习惯是哪个国家的，不过那是小事。我就当是这本了，改天看看去。
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31楼2010-11-05 21:59:06
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ykwang

金虫 (正式写手)
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引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-05 21:59:06:


我在网上只查到：

《线性代数》， 金朝嵩,段正敏,王汉明, 清华大学出版社。

虽然我不知道你那念名字的习惯是哪个国家的，不过那是小事。我就当是这本了，改天看看去。

这个批评我接受，因为我的文献索引系统有点水土不服，而我又疏于检查了。
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Nothing_Is_Impossible!
32楼2010-11-05 22:09:41
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我大致看了一下，没有仔细看，需要补充说明一下
不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是
AB=I
和
BA=I
两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。
明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义，但是我发现有几位朋友在推导中已经用了逆矩阵的概念了，这是不行的。
各位的回帖我稍后再仔细看，我自己也在证明呢
我把上面的说明加到一楼去了，以方便后面看到本贴的朋友理解问题的意思。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 23:59 ]
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33楼2010-11-05 22:12:22
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-05 16:36:08:



咳。

楼主是说用 AB=I 一个等式，来定义 A 为可逆矩阵可不可以。

请注意，可逆矩阵以及逆矩阵的概念尚未定义。

所以你的 A^(-1) 和 B^(-1) 是什么，我只能说：不知道。

Pchief君真正理解了我的意思，赞一个。你的证明我稍后再仔细看
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34楼2010-11-05 22:31:12
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Pchief

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楼主还可以看看我的18楼的反例，也许会有点启发。
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35楼2010-11-05 22:37:00
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Pchief

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Originally posted by Pchief at 2010-11-04 18:38:01:
首先，证明 B 的唯一性，就是说如果 AB=AC=I 则 B=C。

事实上，由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0 。再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ ...

由 det A ≠ 0 推出 Ax=0 只有零解，这叫做Cramer法则。这个定理的证明不需要用到矩阵的知识，所涉及的知识完全是行列式的。

证明如下： 设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0

于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有

0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n))   其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置

=x(1) det  (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))

=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n))   因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零

=x(j) det A.

由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。
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36楼2010-11-05 23:00:03
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tiger81

金虫 (小有名气)
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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 22:37:00:
楼主还可以看看我的18楼的反例，也许会有点启发。

别启发别人了，看看25楼的回复吧，还有29楼的进一步解释。

[ Last edited by tiger81 on 2010-11-5 at 23:45 ]
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37楼2010-11-05 23:42:55
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Pchief

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Originally posted by tiger81 at 2010-11-05 23:42:55:


别启发别人了，看看25楼的回复吧，还有29楼的进一步解释。

[ Last edited by tiger81 on 2010-11-5 at 23:45 ]

我已经看过了，就是不知道阁下有没有看过楼主在33楼红色大字写的那些补充说明呢？
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38楼2010-11-05 23:54:50
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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把我所有的回复汇总一下：


A和B是同阶方阵，则等式 AB=I 蕴涵 BA=I 的证明 （略有简化）

首先感谢 ykwang 提供思路，虽然没有写出具体证明过程，但对证明的简化有一定帮助，鄙人在此收回26楼最后一句话，并郑重向 ykwang 致歉

首先由 AB = I 两边取行列式可知 det A ≠ 0，其次，等式 AB = I 两边右乘 A 得 ABA = A，移项并分离因式得 A(BA - I) = 0，于是 BA - I 的每个列 x 满足 Ax =0 ，但由 det A ≠ 0，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解（Cramer法则），即 x = 0，这就是说， BA - I 的每个列都是零，从而得到 BA = I。




Cramer法则（若det A ≠ 0，则齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解）的证明（只用到行列式知识，不涉及矩阵）

设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0

于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有

0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n))   其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置

=x(1) det  (ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))

=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n))   因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零

=x(j) det A.

由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。




反例：去掉A 和B是矩阵这个背景，AB = I 就不蕴涵 BA=I 了

令 X 是所有平方收敛的实数列的全体，即 X 中的元素形如

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。

X 在如下定义的加法和数乘下面成为实线性空间

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... )

a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R

设 A 和 B 是 X 上的线性变换，定义为：

A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...)
B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... )

通常将 A 和 B 分别称为左推移和右推移。现在，不难验证 AB = I，但

BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。




[ Last edited by Pchief on 2010-11-6 at 01:40 ]
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39楼2010-11-06 01:35:24
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zc_deng78855

新虫 (正式写手)
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好像是初学高代时就应该想到的吧，貌似不难
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一个朋友的阿姨的妹妹说她很欣赏你
40楼2010-11-06 10:12:24
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