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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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water6130984

木虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
根据逆矩阵的唯一性，易得此结论。
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11楼2010-11-05 15:08:10
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scuxchen

金虫 (著名写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
呵呵。

[ Last edited by scuxchen on 2010-11-5 at 17:02 ]
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拳打脚踢
12楼2010-11-05 15:21:50
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by scuxchen at 2010-11-05 15:21:50:
I-BA=（I-BA）BAA^(-1)B^(-1)=(BA-BABA)A^(-1)B^(-1)=(BA-BIA)A^(-1)B^(-1)=(BA-BA)A^(-1)B^(-1)=0A^(-1)B^(-1)=0,
这样行么？呵呵。

[ Last edited by scuxchen on 2010-11-5 at 15:28 ]

A^(-1)，B^(-1)这些东西是什么？还没定义出来的东西你怎么就拿来用了？
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13楼2010-11-05 15:52:51
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scuxchen

金虫 (著名写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 15:52:51:


A^(-1)，B^(-1)这些东西是什么？还没定义出来的东西你怎么就拿来用了？

由题目知道A,B都是可逆矩阵嘛，其逆矩阵分别用A^(-1)，B^(-1)表示。这样不行么？
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拳打脚踢
14楼2010-11-05 16:16:14
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by scuxchen at 2010-11-05 16:16:14:


由题目知道A,B都是可逆矩阵嘛，其逆矩阵分别用A^(-1)，B^(-1)表示。这样不行么？

咳。

楼主是说用 AB=I 一个等式，来定义 A 为可逆矩阵可不可以。

请注意，可逆矩阵以及逆矩阵的概念尚未定义。

所以你的 A^(-1) 和 B^(-1) 是什么，我只能说：不知道。
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15楼2010-11-05 16:36:08
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scuxchen

金虫 (著名写手)
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-05 16:36:08:



咳。

楼主是说用 AB=I 一个等式，来定义 A 为可逆矩阵可不可以。

请注意，可逆矩阵以及逆矩阵的概念尚未定义。

所以你的 A^(-1) 和 B^(-1) 是什么，我只能说：不知道。

原来如此。。。
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拳打脚踢
16楼2010-11-05 16:45:59
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
用 AB = I 一个等式来定义 B=A^(-1)，面临的问题首先是：满足这个等式的 B 是否唯一？其次是：是否存在矩阵 C 使得 BC = I？ 最后是：是否有C=A？
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17楼2010-11-05 16:50:03
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 14:46:25:


什么叫左单位阵，解释一下。

单位阵就是单位阵，有明确定义，而你这个左单位阵是哪本书讲到的，我怎么就没听说过，给个出处。





我看他的样子是想纯粹从形式上推导这个命题，我在4楼已经说过，不 ...

左单位元的定义：e为集合H(其上定义了乘法: H X H -> H)的左单位元，则对H中的任意b,有: eb=b。右单位元和左右逆的定义类似

如果A,B不是矩阵而只是某个定义了乘法的集合H的元素，由AB=I不能推出BA=I，对H加上两个条件才行：

1.乘法满足结合律
2.H中的任一个元素均存在左逆
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So Trivial !
18楼2010-11-05 17:02:15
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
我就给你举个例子说明为什么去掉矩阵这个背景，AB = I 就不蕴涵 BA=I了：

令 X 是所有平方收敛的实数列的全体，即 X 中的元素形如

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) 其中 x(1)^2 + x(2)^2 + ... + x(n)^2 +... < +∞。

X 在如下定义的加法和数乘下面成为实线性空间

(x(1), x(2), ..., x(n), ... ) + (y(1), y(2), ..., y(n), ... ) = (x(1)+y(1), x(2)+y(2), ..., x(n)+y(n), ... )

a (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (a x(1), a x(2), ..., a x(n), ... ) , a∈R

设 A 和 B 是 X 上的线性变换，定义为：

A (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(2), x(3), ... , x(n+1), ...)
B (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (0, x(1), ..., x(n-1), ... )

通常将 A 和 B 分别称为左推移和右推移。现在，不难验证 AB = I，但

BA (e) = 0 ≠ e，其中 e=(1, 0, ..., 0, ...) ，所以 BA ≠ I。

问题就出在对于给定的 A,满足AB=I 的 B并不唯一。除了上面所定义的 B 以外，如下所定义的 C 也能使得 AC = I：

C (x(1), x(2), ..., x(n), ... ) = (x(1), x(1), ..., x(n-1), ... )
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19楼2010-11-05 17:18:13
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2010-11-05 17:02:15:


左单位元的定义：e为集合H(其上定义了乘法: H X H -> H)的左单位元，则对H中的任意b,有: eb=b。右单位元和左右逆的定义类似

...

就算按你这个解释，9楼的话也说不通。
引用回帖:
Originally posted by ykwang at 2010-11-05 14:15:44:

其依据是由（BA）B=B可知BA是A的左单位阵，而同样可以证明单位阵不分左右，且是唯一的，所以BA=I。

[ Last edited by ykwang on 2010-11-5 at 14:16 ]

这是他的原话，按你的解释，必须要对任意矩阵 C 满足 (BA) C = C 才能说明 BA是左单位，光凭一个 B 满足 (BA)B = B 就能叫左单位了？
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20楼2010-11-05 17:26:13
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