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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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木叶忍者319

新虫 (初入文坛)
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我晕
这个问题我想过
一个在代数里很简单的推论,看起来结论却很新鲜
拿到纯数学里又玩一套理论解释另一套理论
lz 陷的太深了
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21楼2010-11-05 18:06:49
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 17:26:13:



就算按你这个解释，9楼的话也说不通。



这是他的原话，按你的解释，必须要对任意矩阵 C 满足 (BA) C = C 才能说明 BA是左单位，光凭一个 B 满足 (BA)B = B 就能叫左单位了？

我只是说明一下一般的左右逆和左右单位元的定义，不过这个定义和9楼的"A的左单位元"这个说法看来还是不一样的。

正如18楼所说的，我同意你的一般情况下不能由AB=I推出BA=I的说法，需要加上18楼的两个条件才行，而在你19楼的反例中，A的左逆恰好是不存在的。
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So Trivial !
22楼2010-11-05 18:14:03
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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Originally posted by just_play at 2010-11-05 18:14:03:


我只是说明一下一般的左右逆和左右单位元的定义，不过这个定义和9楼的"A的左单位元"这个说法看来还是不一样的。

正如18楼所说的，我同意你的一般情况下不能由AB=I推出BA=I的说法，需要加上18楼的 ...

嗯，忘了说，我20楼的话其实不是说给你看的，而是说给9楼看的，如有不敬之处望见谅。

另：我写18楼时候还没见到你17楼，发出来才看见的。

[ Last edited by Pchief on 2010-11-5 at 18:39 ]
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23楼2010-11-05 18:36:59
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ykwang

金虫 (正式写手)
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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 14:46:25:


什么叫左单位阵，解释一下。

单位阵就是单位阵，有明确定义，而你这个左单位阵是哪本书讲到的，我怎么就没听说过，给个出处。

数学证明讲究严格性。因为矩阵的乘法不满足对易率，所以如果AR=A，我们只能称R是A的右单位阵，即R从右边乘A时不改变A。同理，如果LA=A，则L为A的左单位元。容易证明A的左单位阵也是其右单位阵（证明过程可在数学专业的线性代数中找到），即单位阵不分左右，可记为L=R=I。这些都是常识性的知识，你应该自己去找有关的资料恶补一下。
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Nothing_Is_Impossible!
24楼2010-11-05 19:07:23
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tiger81

金虫 (小有名气)
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A和B是同阶的方阵，而且它们是定义在域上的吧，那么Det（AB)=det（A)det(B)=1,所以Det（A）是可逆的，于是A是可逆矩阵，由AB=I得到BA=I。
   由行列式不等于0直接就得到矩阵可逆吧。
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25楼2010-11-05 19:14:10
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Pchief

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Originally posted by ykwang at 2010-11-05 19:07:23:

数学证明讲究严格性。因为矩阵的乘法不满足对易率，所以如果AR=A，我们只能称R是A的右单位阵，即R从右边乘A时不改变A。同理，如果LA=A，则L为A的左单位元。容易证明A的左单位阵也是其右单位阵（证明过程可在数学 ...

我10楼已经说过，我要的只是你这些概念的出处。你只要说，是哪本书上讲到你这些概念，谁编的，哪个出版社出的，我自然会找来看。

既然你也说是常识性的东西，不会连个出处都找不到吧？如果没有一本书上提到这些概念，那它们是怎么成为常识的？

我可以先跟你说我用的是什么教材。我用的是：

《线性代数》李炯生，查建国 编，中国科学技术大学出版社，1989年。

现在轮到你了。老实说，连我用这本书里都没有提到的概念，我不相信知道它的人会有很多，以至于能达到可以称为“常识” 的程度。但我还是愿意听你的，只要你指出出处，你说是常识那就是常识，毕竟常识越多越好。但是如果你不指明出处，只是笼统说什么“到数学专业学的线性代数教材去找”之类的话，那么对不起，我只能认为你在瞎掰。


至于打错字的问题我就不追究你了。谁都会打错，追究起来一万年也没结果。

说了半天，你的意思最后还是归结为证明：满足CB = B 的矩阵 C 是唯一的。好，这步就是关键，我还是要看看你怎么证明。我给的证明里面用到行列式，用到Cramer法则。如果你能不用这些概念，给我弄个纯形式的证明，那你是大牛，我甘当小学生。不然，你的证法就跟我没有本质区别，纯属多此一举。
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26楼2010-11-05 20:24:46
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
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实际上我本来想说的就是楼上的最后一句话，没有别的了。
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27楼2010-11-05 20:35:48
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hill008

金虫 (正式写手)
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简单的问题搞得复杂化了，陷入了概念到概念之间繁琐的论证。
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28楼2010-11-05 20:46:05
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stcmm

金虫 (正式写手)
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A和B是同阶的方阵，而且它们是定义在数域上的吧，那么det(AB)=det(A)det(B)=1,所以det(A)不等于0,所以A是可逆的，又由于逆矩阵的唯一性，所以B是A的逆矩阵，根据逆矩阵定义，知BA=I。
     这是同济大学版线性代数简明教程逆矩阵这一节的一个推论。
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29楼2010-11-05 20:48:49
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ykwang

金虫 (正式写手)
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Originally posted by Pchief at 2010-11-05 20:24:
既然你也说是常识性的东西，不会连个出处都找不到吧？如果没有一本书上 ...

关于左逆阵和右逆阵的概念见：
《线性代数》， 朝嵩金,正敏段,汉明王, 清华大学出版社, 2006. p65。
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Nothing_Is_Impossible!
30楼2010-11-05 21:42:45
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