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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)

[交流] 【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵已有22人参与

线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？
不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是
AB=I
和
BA=I
两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 22:25 ]

证明见39楼和48楼

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2011-4-29 at 14:16 ]
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1楼2010-11-04 17:43:01
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我大致看了一下，没有仔细看，需要补充说明一下
不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是
AB=I
和
BA=I
两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。
明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义，但是我发现有几位朋友在推导中已经用了逆矩阵的概念了，这是不行的。
各位的回帖我稍后再仔细看，我自己也在证明呢
我把上面的说明加到一楼去了，以方便后面看到本贴的朋友理解问题的意思。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-5 at 23:59 ]
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33楼2010-11-05 22:12:22
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by Pchief at 2010-11-05 16:36:08:



咳。

楼主是说用 AB=I 一个等式，来定义 A 为可逆矩阵可不可以。

请注意，可逆矩阵以及逆矩阵的概念尚未定义。

所以你的 A^(-1) 和 B^(-1) 是什么，我只能说：不知道。

Pchief君真正理解了我的意思，赞一个。你的证明我稍后再仔细看
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34楼2010-11-05 22:31:12
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
非常感谢各位回帖的朋友！
首先由于事情忙和疏懒，直到现在作为帖主才回帖，谨向各位回帖者表示歉意！
现在把我的证明给出来。
结合39楼Pchief君的证明，现在可以放心地得出结论——不需要线性代数课本用两个等式AB=BA=I定义的逆矩阵的概念，就可以证明出AB=I和BA=I是等价的。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-18 at 23:47 ]
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46楼2010-11-18 23:17:55
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我的证明参考了2楼小雨萌萌君的提示，在此向她表示感谢，就是用到了伴随矩阵的等式（见下面）。
下面用det(M)表示矩阵M的行列式，A*表示A的伴随矩阵。
证明关键用到的知识就是下面两个等式：
1)        det(AB)=det(A)det(B)
2)        A*A=AA*= det(A)I
这两个等式都独立于逆矩阵的概念。
有了这两个等式证明是比较简单的，证明过程如下。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-18 at 23:49 ]
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47楼2010-11-18 23:18:47
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
[证明]
AB=I 利用等式1)  =>  det(AB)=det(A)det(B)=1  =>  det(A)不等于0

在已知的等式AB=I两边同时左乘A*，利用等式2)  =>  A*AB=A*  =>  det(A)B=A*，为利用等式2) 两边再右乘A  =>  det(A)BA=A*A =det(A)I。

因为先已经得出det(A)不等于0，所以  =>  BA=I。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-19 at 10:03 ]
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48楼2010-11-18 23:19:45
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我们可以看出，这个证明关键用到的知识就是上面47楼的两个等式。如果说还有什么的话，那就是要善于利用已知条件，对矩阵等式适当地左乘或者右乘相应的矩阵来试探着得出想要的结果。
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49楼2010-11-18 23:20:57
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
我比较仔细地看了诸君回帖的解答，个人更赞赏Pchief君的证明，这一利用Cramer法则以及列分块方法的证明方法很具有代表性，也很简单（另外，按照Pchief君反例的提示，我还意外地学到了知识——和矩阵不同，把问题中的A、B、I 改成线性算子，AB=I 就未必蕴含BA=I 啦！）。对其他的证明，我有的存有异议，有的稍觉别扭。但我感谢所有回帖朋友的证明和热情的讨论！
这里还要补充说明一点。如果撇开本问题的初衷不谈（初衷是假设还没有逆矩阵的定义要从AB=I推导出BA=I，从一个刚学完线性代数课本里逆矩阵前一小节内容的大学低年级学生的角度出发来推导），也就是说，可以考虑用逆矩阵的定义，那么在用的时候，最好明确说明逆矩阵的定义，比如用两个等式AB=BA=I定义的逆矩阵的概念。按这样的约定，从AB=I推导出BA=I才是合乎逻辑的。这其实也就是现在线性代数课本中已有的结论体系。因此从这个意义来说，tiger81君在25楼的回答以及stcmm君在29楼的回答都是正确的。

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-18 at 23:46 ]
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50楼2010-11-18 23:21:14
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就是溜溜的她

木虫 (小有名气)
衷心感谢诸君的讨论，并尤其感谢Pchief君！
无论从Pchief君回帖的数量、质量，还是耐心和细致，以及他数学知识的渊博和娴熟，都令我非常感动、肃然起敬！论坛正需要这样的热心朋友来帮助大家，希望今后能从Pchief君那里学到更多的知识！

[ Last edited by 就是溜溜的她 on 2010-11-19 at 11:47 ]
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51楼2010-11-18 23:23:23
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