应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么n阶对称阵一定能对角化？
北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
171/2返回列表12下一页
查看: 2377  |  回复: 16
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] 为什么n阶对称阵一定能对角化？

有两个问题请教各位：
1.为什么n阶对称阵一定能对角化？
2.书上把对称阵A对角化的步骤是：（1）求出不相等的特征值；（2）对每个k重特征值，求（A-λE）=0的基础解系，得k个线性无关的特征向量，再正交化、单位化；（3）把这些特征单位向量构成正交阵P，得P^-1·A·P=P(T)·A·P=对称阵。我的疑问是：对于不对称的n阶矩阵，如果它有n个线性无关的特征向量，可不可以按上述步骤把这不对称矩阵对角化？
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
1楼 2011-11-10 20:36:18
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2011-11-10 21:21:26
n阶矩阵A可相似于对角矩阵的充要条件即是：有n个线性无关的特征向量
赞一下(1人) 回复此楼
学好外语，不忘数学！
2楼2011-11-10 21:14:10
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！
赞一下 回复此楼
学好外语，不忘数学！
3楼2011-11-10 21:22:25
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 21:22:25:
1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！

1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？
赞一下 回复此楼
4楼2011-11-10 21:31:05
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

KZ1425(金币+8): 谢谢 2011-11-11 16:20:48
引用回帖:
4楼: Originally posted by KZ1425 at 2011-11-10 21:31:05:
1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？

对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑具良好性质的对称矩阵的对角正交化。
赞一下 回复此楼
学好外语，不忘数学！
5楼2011-11-10 22:28:01
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

问题的核心就是正交化后仍能保证是相应特征值的特征向量！
赞一下 回复此楼
学好外语，不忘数学！
6楼2011-11-10 22:46:01
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

可以这么看：
任何一个可逆矩阵A有Jordan标准型，也就是存在可逆矩阵B使得C=BAB^{-1}是上三角矩阵。A^n=I 预示着C^n=I。简单的矩阵乘法运算可以看出C必须为对角阵，否则阶数不可能有限。
赞一下 回复此楼
7楼2011-11-10 22:51:38
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 22:28:01:
对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑 ...

1.明白了
2.就是非对称矩阵不能保证对于不同的特征值，特征向量正交，所以正交化困难，这是不能套用把对称阵化成对角阵方法的原因？
赞一下 回复此楼
8楼2011-11-10 23:14:14
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

xiangqianzsh

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 22:28:01:
对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑 ...

你说的2中，在正交化的过程中，不同特征值的特征向量不正交：这句是不是有点问题？不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的，而正交化过程也不会改变正交性，其实质只是在相应的特征值空间中取一组正交基。我想之所以不对非正称矩阵求正交矩阵原因有二：1是非对称矩阵不一定总能对角化，但是实对称矩阵可以，2是求正交矩阵化为对角形的目的多是为了对坐标系进行正交旋转，使齐次曲面表达式化为最简，而其齐次曲面多用对称矩阵来表示，因为这样才唯一。欢迎指正。
赞一下 回复此楼
9楼2011-11-11 12:00:36
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2011-11-11 12:00:36:
你说的2中，在正交化的过程中，不同特征值的特征向量不正交：这句是不是有点问题？不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的，而正交化过程也不会改变正交性，其实质只是在相应的特征值空间中取一组 ...

“不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的”这个是不正确的，只有对称阵的不同特征值对应的特征向量才正交，非对称阵只能保证不同特征值对应的特征向量线性无关。
不对非正称矩阵求正交矩阵的原因应该是：对非对称阵，不同特征值对应的特征向量不正交，无法规范正交化。
赞一下 回复此楼
10楼2011-11-11 16:20:19
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 KZ1425 的主题更新
171/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[考研] 第一志愿东南大学物理313，有科研竞赛获奖经历，希望物理复试调剂 +3 马内橙 2026-04-05 3/150 2026-04-06 10:32 by 蓝云思雨
[考研] 化学调剂 +17 艾志恒 2026-04-03 18/900 2026-04-06 07:10 by jj987
[考研] 生物与医药086000调剂一志愿西北农林320分 +3 美美女士 2026-04-03 3/150 2026-04-05 21:55 by 学员8dgXkO
[考研] 本科211，293分请求调剂 +8 莲菜就是藕吧 2026-04-03 9/450 2026-04-05 19:12 by 蓝云思雨
[考研] 一志愿同济大学323分（080500）求调剂 +8 yikeniu 2026-04-01 8/400 2026-04-05 18:15 by cql1109
[考研] 323求调剂（计算机视觉和大模型项目经历） +3 chaoxiicy 2026-03-31 3/150 2026-04-05 10:33 by zhq0425
[考研] 调剂 +8 熊二想上岸 2026-04-04 8/400 2026-04-05 05:27 by houyaoxu
[考研] 344材料与化工调剂 +9 调剂上岸玘 2026-04-03 9/450 2026-04-04 23:10 by happyddm
[考研] 283分求调剂 +7 小聂爱学习 2026-04-03 7/350 2026-04-04 21:51 by hemengdong
[考研] 349求调剂 +11 zwjjjjjj 2026-03-31 11/550 2026-04-04 19:52 by 蓝云思雨
[考研] 11408 一志愿西电，277分求调剂 +4 zhouzhen654 2026-04-03 4/200 2026-04-04 18:10 by 猪会飞
[考研] 一志愿085404，总分291，四级已过，求调剂 +5 阿俊阿俊阿俊 2026-04-04 7/350 2026-04-04 13:23 by 莲菜就是藕吧
[考研] 336求调剂 +8 kiyy 2026-04-01 8/400 2026-04-03 19:41 by lijunpoly
[考研] 081200-11408-276学硕求调剂 +6 崔wj 2026-04-02 6/300 2026-04-03 10:19 by 蓝云思雨
[考研] 309求调剂 +14 呆菇不是戴夫 2026-04-02 14/700 2026-04-03 09:42 by 蓝云思雨
[考研] 085900土木水利336分求调剂 +4 Zhangjiangj 2026-03-31 6/300 2026-04-02 11:40 by 1753564080
[考研] 085602化学工程268分蹲调剂 +8 月照花林。 2026-04-01 8/400 2026-04-01 22:08 by 无际的草原
[考研] 303分 0807学硕求调剂 +3 TYC3632 2026-04-01 3/150 2026-04-01 19:24 by lwk2004
[考研] 调剂申请 +8 张张张张zy 2026-03-31 9/450 2026-04-01 08:29 by zjbkx
[考研] 英一数一总分334求调剂 +4 陈阳坤 2026-03-31 4/200 2026-03-31 14:22 by 记事本2026
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭