应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么n阶对称阵一定能对角化？
171/2返回列表12下一页
查看: 2895  |  回复: 16
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] 为什么n阶对称阵一定能对角化？

有两个问题请教各位：
1.为什么n阶对称阵一定能对角化？
2.书上把对称阵A对角化的步骤是：（1）求出不相等的特征值；（2）对每个k重特征值，求（A-λE）=0的基础解系，得k个线性无关的特征向量，再正交化、单位化；（3）把这些特征单位向量构成正交阵P，得P^-1·A·P=P(T)·A·P=对称阵。我的疑问是：对于不对称的n阶矩阵，如果它有n个线性无关的特征向量，可不可以按上述步骤把这不对称矩阵对角化？
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
1楼 2011-11-10 20:36:18
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2011-11-10 21:21:26
n阶矩阵A可相似于对角矩阵的充要条件即是：有n个线性无关的特征向量
赞一下(1人) 回复此楼
学好外语，不忘数学！
2楼2011-11-10 21:14:10
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！
赞一下 回复此楼
学好外语，不忘数学！
3楼2011-11-10 21:22:25
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 21:22:25:
1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！

1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？
赞一下 回复此楼
4楼2011-11-10 21:31:05
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

KZ1425(金币+8): 谢谢 2011-11-11 16:20:48
引用回帖:
4楼: Originally posted by KZ1425 at 2011-11-10 21:31:05:
1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？

对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑具良好性质的对称矩阵的对角正交化。
赞一下 回复此楼
学好外语，不忘数学！
5楼2011-11-10 22:28:01
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

问题的核心就是正交化后仍能保证是相应特征值的特征向量！
赞一下 回复此楼
学好外语，不忘数学！
6楼2011-11-10 22:46:01
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

可以这么看：
任何一个可逆矩阵A有Jordan标准型，也就是存在可逆矩阵B使得C=BAB^{-1}是上三角矩阵。A^n=I 预示着C^n=I。简单的矩阵乘法运算可以看出C必须为对角阵，否则阶数不可能有限。
赞一下 回复此楼
7楼2011-11-10 22:51:38
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 22:28:01:
对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑 ...

1.明白了
2.就是非对称矩阵不能保证对于不同的特征值，特征向量正交，所以正交化困难，这是不能套用把对称阵化成对角阵方法的原因？
赞一下 回复此楼
8楼2011-11-10 23:14:14
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

xiangqianzsh

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 22:28:01:
对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑 ...

你说的2中，在正交化的过程中，不同特征值的特征向量不正交：这句是不是有点问题？不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的，而正交化过程也不会改变正交性，其实质只是在相应的特征值空间中取一组正交基。我想之所以不对非正称矩阵求正交矩阵原因有二：1是非对称矩阵不一定总能对角化，但是实对称矩阵可以，2是求正交矩阵化为对角形的目的多是为了对坐标系进行正交旋转，使齐次曲面表达式化为最简，而其齐次曲面多用对称矩阵来表示，因为这样才唯一。欢迎指正。
赞一下 回复此楼
9楼2011-11-11 12:00:36
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2011-11-11 12:00:36:
你说的2中，在正交化的过程中，不同特征值的特征向量不正交：这句是不是有点问题？不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的，而正交化过程也不会改变正交性，其实质只是在相应的特征值空间中取一组 ...

“不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的”这个是不正确的，只有对称阵的不同特征值对应的特征向量才正交，非对称阵只能保证不同特征值对应的特征向量线性无关。
不对非正称矩阵求正交矩阵的原因应该是：对非对称阵，不同特征值对应的特征向量不正交，无法规范正交化。
赞一下 回复此楼
10楼2011-11-11 16:20:19
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 KZ1425 的主题更新
171/2返回列表12下一页
普通表情 龙 兔 虎 猫
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[考研] 售SCI一区文章，我:8.O.551.O.5.4,科目全,可伽急 +3 ZYXdhzDAy9ZX 2026-09-28 3/150 2026-09-29 06:42 by ZvyPK8n6Nfki
[找工作] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急 +3 ZYXdhzDAy9ZX 2026-09-28 3/150 2026-09-29 06:34 by ZvyPK8n6Nfki
[找工作] 售SCI一区文章，我:8.O.551.O.5.4,科目全,可伽急 +3 ZYXdhzDAy9ZX 2026-09-28 3/150 2026-09-29 06:28 by ZvyPK8n6Nfki
[考博] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3 ZYXdhzDAy9ZX 2026-09-28 3/150 2026-09-29 06:18 by ZvyPK8n6Nfki
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 tqUTOxClQUMF 2026-09-28 3/150 2026-09-28 23:46 by b8fCuTHqckEt
[考博] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +4 GDBe8tDZqE8z 2026-09-28 4/200 2026-09-28 23:19 by b8fCuTHqckEt
[考研] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3 GDBe8tDZqE8z 2026-09-28 3/150 2026-09-28 23:12 by b8fCuTHqckEt
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 CfXuS1rDhLYN 2026-09-28 4/200 2026-09-28 22:55 by ez6fGg9abYaj
[公派出国] 售SCI一区文章，我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急 +4 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-28 22:55 by ez6fGg9abYaj
[博后之家] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急 +4 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 5/250 2026-09-28 22:45 by ez6fGg9abYaj
[有机交流] 同一个分子，一条来自文献，一条来自AI——不告诉你答案，你会选哪条？ +3 tianxiaoxian 2026-09-28 6/300 2026-09-28 22:44 by tianxiaoxian
[找工作] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 5/250 2026-09-28 22:32 by ez6fGg9abYaj
[公派出国] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-28 22:28 by ez6fGg9abYaj
[博后之家] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 3/150 2026-09-28 22:21 by ez6fGg9abYaj
[考博] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 6/300 2026-09-28 22:15 by ez6fGg9abYaj
[论文投稿] 售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 CfXuS1rDhLYN 2026-09-28 3/150 2026-09-28 19:08 by 9lS3ad5oOymn
[考研] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-28 18:51 by 9lS3ad5oOymn
[找工作] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +4 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-28 17:30 by ZYXdhzDAy9ZX
[教师之家] 某top大学教授说“能够在市场中兑现的能力才是真能力”无比同意！ +7 zju2000 2026-09-26 8/400 2026-09-28 16:42 by beefly
[教师之家] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3 GDBe8tDZqE8z 2026-09-28 3/150 2026-09-28 15:32 by ZYXdhzDAy9ZX
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭