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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 为什么n阶对称阵一定能对角化？
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KZ1425

木虫 (著名写手)

[求助] 为什么n阶对称阵一定能对角化？

有两个问题请教各位：
1.为什么n阶对称阵一定能对角化？
2.书上把对称阵A对角化的步骤是：（1）求出不相等的特征值；（2）对每个k重特征值，求（A-λE）=0的基础解系，得k个线性无关的特征向量，再正交化、单位化；（3）把这些特征单位向量构成正交阵P，得P^-1·A·P=P(T)·A·P=对称阵。我的疑问是：对于不对称的n阶矩阵，如果它有n个线性无关的特征向量，可不可以按上述步骤把这不对称矩阵对角化？
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1楼 2011-11-10 20:36:18
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
soliton923(金币+2): 谢谢参与讨论~~~ 2011-11-10 21:21:26
n阶矩阵A可相似于对角矩阵的充要条件即是：有n个线性无关的特征向量
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2楼2011-11-10 21:14:10
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！
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3楼2011-11-10 21:22:25
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 21:22:25:
1，对n阶对称阵，不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关，所以可以对角化；
2，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量就可对角化，但对非对称陈而言，所求P不是正交矩阵！

1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？
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4楼2011-11-10 21:31:05
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

KZ1425(金币+8): 谢谢 2011-11-11 16:20:48
引用回帖:
4楼: Originally posted by KZ1425 at 2011-11-10 21:31:05:
1.对n阶对称阵，为什么不同特征值对应的特征向量必正交继而线性无关？
2.所求的P不是正交矩阵，我把它正交化、单位化，即把它化成规范正交基，再用这个规范正交基来求对角阵，P(T)·A·P=对角阵，可不可以？

对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑具良好性质的对称矩阵的对角正交化。
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5楼2011-11-10 22:28:01
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

问题的核心就是正交化后仍能保证是相应特征值的特征向量！
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6楼2011-11-10 22:46:01
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alpha94

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

可以这么看：
任何一个可逆矩阵A有Jordan标准型，也就是存在可逆矩阵B使得C=BAB^{-1}是上三角矩阵。A^n=I 预示着C^n=I。简单的矩阵乘法运算可以看出C必须为对角阵，否则阶数不可能有限。
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7楼2011-11-10 22:51:38
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 22:28:01:
对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑 ...

1.明白了
2.就是非对称矩阵不能保证对于不同的特征值，特征向量正交，所以正交化困难，这是不能套用把对称阵化成对角阵方法的原因？
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8楼2011-11-10 23:14:14
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-10 22:28:01:
对于1，正交向量组一定线性无关，教材上有证明！
对于2，理论上可行，但在正交化过程中，不同特征值的特征向量不正交，又要考虑重特征根内部特征向量的正交化，往往计算起来相当麻烦，故而为计算计，一般只考虑 ...

你说的2中，在正交化的过程中，不同特征值的特征向量不正交：这句是不是有点问题？不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的，而正交化过程也不会改变正交性，其实质只是在相应的特征值空间中取一组正交基。我想之所以不对非正称矩阵求正交矩阵原因有二：1是非对称矩阵不一定总能对角化，但是实对称矩阵可以，2是求正交矩阵化为对角形的目的多是为了对坐标系进行正交旋转，使齐次曲面表达式化为最简，而其齐次曲面多用对称矩阵来表示，因为这样才唯一。欢迎指正。
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9楼2011-11-11 12:00:36
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KZ1425

木虫 (著名写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2011-11-11 12:00:36:
你说的2中，在正交化的过程中，不同特征值的特征向量不正交：这句是不是有点问题？不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的，而正交化过程也不会改变正交性，其实质只是在相应的特征值空间中取一组 ...

“不管矩阵A 对称不对称，不同特征值的特征向量总是正交的”这个是不正确的，只有对称阵的不同特征值对应的特征向量才正交，非对称阵只能保证不同特征值对应的特征向量线性无关。
不对非正称矩阵求正交矩阵的原因应该是：对非对称阵，不同特征值对应的特征向量不正交，无法规范正交化。
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10楼2011-11-11 16:20:19
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